1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计(第二课时)

棱锥外接球问题

教学分析：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

学情分析：

学生在高二系统的已经学习了立体几何，但是经过一年时间已经逐渐淡忘。一部分学生只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会了。

教学目标：

知识与技能：学生学会如何通过找球心解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

重点：学会转化的思想方法。

难点：找球心的要点。

教学过程分析

教学内容与问题设置

设计意图

典例引出 正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球半 径R. 此例题启发学生想出解决棱锥外接球问题的几种方法，并作出总结。

问题一：正四面体六条棱都相等，由此特征你能想到什么？

学生答：正方形六个面的面对角线都相等，把这六条棱分别放在六个面的对角线上。

得到解决方法：

（1）补形法

（一）老师启发式提问，有助于学生得到解决方法。

（二）板书演示这三种方法，方便学生总结。

问题二：正四棱锥的三条侧棱都相等，那么球心在哪里？

学生答：侧棱都相等的锥球心在高线上。

老师板书在高线上作出直径PM，学生发现直径所对的

∠PAM为直角，从而发现符合射影定理的内容。从而得到方法二：

（2）射影定理法

问题三：连接球心O与顶点A得到半径，你观察半径和球心的位置有什么发现？

学生答：半径和球心在直角三角形上，半径OA是斜边。

得到解决方法三：

（3）勾股定理法

学生总结：求棱锥外接球半径的方法：

（1）补形法（适用特殊棱锥）

（2）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落在高线上的的棱锥）

（3）勾股定理法

（通法）

关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。

针对题型训练

题型一 补形 例1

（1）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC,SA=2的表面积。

,BC=2,∠BAC=30,求球O

教师幻灯片辅助展示总结。

通过幻灯片演示让学生体会补形的过程。

（2）三棱锥A-BCD中AB=CD=4,AD=BC=5, AC=BD=6,

则三棱锥的外接球表面积为。

学生总结小结一：

常见补形：

侧棱垂直于底面的锥均可补成直棱柱；

正四面体可补成正方体求其外接球；

对棱相等的四面体可补成长方体；

题型二

侧棱都相等的椎体（射影定理法）

例2

已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在以2为半径的球面上，PA=PB=PC=2,∠ABC为直角，则p到面ABC的距离（

）

提问学生题型二你有几种解决方案，比较哪种解决问题快速，从而加深对方法的掌握。

学生总结小结二： 1.侧棱都相等的锥体用射影定理法求其外接球半径； 2.正n棱锥均可用射影定理

，无需进一步确定球心的准确位置； 题型三 侧面垂直于底面的锥体（勾股定理法） 针对例3属于难点，教师引导学生如何找球例3 已知三棱锥P-ABC的顶点都在O的球面上，心，构造含半径的直角三角形。

与是边长为的正三角形， 平面PAB面ABC，

求球O的表面积。

变式训练 已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面

上，底面ABCD是正方形，PA=1,PB=3,AB=平面ABCD,求球O的表面积。

,平面PAB

变式训练是例3延伸，是更为一般的情况下学生该如何解决，掌握了变式训练那么这一类问题就都迎刃而解了。

学生总结小结三：

侧面垂直于底面的锥，先找到两个外心，再找

一个矩形，2a222或直接代入公式 Rr1r22

课后作业：

拓展思考：什么样的锥体一定有 外接球？

板书设计

棱锥外接球问题

（1）补形法

（2）射影定理法 （3）勾股定理法

加深对棱锥外接球问题的总结与思考。

多媒体版面（用于幻灯片展示）