1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课堂实录及点评

解外接球问题（二）

教学分析：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其他空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

教学目标：

知识与技能：学生学会用通法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感态度与价值观：完善学生的知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

教学重点：

学会转化的思想方法，学会举一反三。

教学难点：

学会构造模型，而使用通法求解。

教学过程：

知识梳理：

1、正方体或长方体的外接球的球心在其体对角线的中点，其半径为R1a2b2c2，其中a、b、c为长方体的长、宽、高。

2 2、若上下底面有外接圆的直棱柱，则它的外接球的球心是上下底面外接圆的圆心连线h的中点，其半径为R2r2（R为外接球的半径，r为外接圆的半径，h为侧棱长）

2 3、正四面体、三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直、四个面都是直角三角形的三棱锥，对棱相等的三棱锥，都可以补成长方体或正方体。

4、若三棱锥中，有两个共斜边的直角三角形，则这条棱的中点就是外接球的球心，棱长是外接球的直径。

如果三棱锥无法构造成正方体或长方体，该如何求解其外接球的表面积和体积问题呢？一起来探讨一下。

典型例题：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，PB⊥平面ABC，AC=BC=PB=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

ACP2B

简解：第一步：找△ABC外接圆的圆心O’，过O’做△ABC的垂线，垂线上有球心O，根据Rt△OAO'Rt△OBO'Rt△OCO',得到OAOBOC；

第二步：设OO'x，则OB2OO'O'Bx22，因22为外接球的半径ROAOBOCOP，所以只需OBOP，即OBOP，

过P做平面ABC的垂线，即PB，过O做OF⊥PB，则OFO'B所以OP2222222，

OFFP22x，所以x2222x2，即x1

22所以外接球的半径ROB123，外接球的表面积S4R212

总结：这种方法我称它为双垂线模型，其主要步骤1、找底面外接圆的圆心，即△ABC的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。

练习1：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，ABP120，且P在平面ABC上的正投影在直线AB上，AC=BC=2，PB22，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。PCAB

简解：PE6，OFO'E22，设OO'x则OBx22,OP8226x，OBOP

222x6,R2628,S4R232练习2：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，且AC=BC=PC=PB=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

PCAB

简解：PE3，OFO'E1，设OO'x则OBx22,OP1x

练习3：三棱锥P—ABC，∠ACB=120°，PC⊥平面ABC，AC=BC=PC=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

223x，OBOP

22211728,R22,S4R23333PCAB

222

简解：O'CO'BOF2，设OO'x则OBx24,OP42x，OBOP

22x1,R2415,S4R220练习4：四棱锥P—ABCD，底面ABCD为正方形，AB=2，PA=PB=PC=PD=11，求四棱锥P—ABCD外接球的表面积。

PDCAB

222

简解：O'AO'B2，设OO'x,O'P1123则OBx22,OP3x，OBOP22

749121121x,R22,S4R2636369小结：这节课主要是练习求解外接球的通法，即双垂线模型的应用，熟悉双垂线模型的具体步骤，1、找底面外接圆的圆心，即△ABC的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。

作业：导学案本节内容

板书设计：

例：

练习1：

简单解题过程

教学反思：本节课在上节课的基础上添加了新的内容，如果三棱锥构造不了正方体或者长方体该如何求解其外接球问题呢？从而引出这节课的具体内容——双垂线模型。在这一节课中就是对这类模型题的一个应用，反复不断的练习，让学生熟练解题步骤，找到等量关系。但在练习过程中发现，有个别学生找不到第二条垂线，还有找不到等量关系的，导致无法解决之后的问题。