3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教学设计

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

一、教学目标

1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围。

2、掌握过两点的直线的斜率公式及应用

3、培养学生运用代数方法解决几何问题的思想和能力，在自我探索斜率坐标公式的过程中培养学生的自学能力。

二、重点、难点

1、本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念过两点的直线斜率公式。

2、本节的难点是对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

三、教学方法

启发引导法、讲练结合

四、教具

利用多媒体辅助教学

五、教学过程

（一）情境引入

通过温哥华冬奥会的滑雪赛道，赛道的陡峭与平缓反映赛道的倾斜程度，引入这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率。

（二）知识探索

问题

在直角坐标系中如何确定直线的位置呢？

方法一：初中我们学习过一次函数，一次函数的图像为一条直线，那么我们如何确定一次函数的图像呢？（两点确定一条直线）

方法二：

问题引导：

1、过原点的直线有几条？

2、与x轴正方向形成450角的直线有几条？

O y . . P Q x

1

3、过定点P与x轴形成450角的直线有几条？

y L2P . y L2P . L1o 45x L1

4545135

o x

方法二：在平面直角坐标系中，确定一条直线位置确定的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向。

而直线的方向我们就是用倾斜角来刻画的。

通过方法二导出450角和1350角分别就是直线l1和l2的倾斜角，引出直线倾斜角的定义。

（三）知识讲解

1、直线的倾斜角定义

在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把

x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫做直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示. 规定:当直线l和x轴平行或重合时它的倾斜角为00

动画演示倾斜角的变化过程

由此推导在直角坐标系中，直线绕直线与x轴交点旋转，它对x轴正方向有四种情形。

O x O y y y

. y α

α

α

x x O O x 2、直线的倾斜角的范围001800

练习1：求下列图中

直线的倾斜角是多少度?请说明理由.

2

3、坡度

l1

l2 y l1⊥l2 1200

O x

m 1 n 1

(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？

（坡角与坡度）

(2)坡度定义是什么？

铅直高度坡度tan(为坡角)

水平长度迁移平面直角坐标系中的直线

（3）斜坡y P(1,m) O α

A(0,1) 直线的倾斜角 坡角对应直线的斜率。

坡度对应4、过原点的直线的斜率

（1）0≤α＜90的直线的斜率

图中直线上的点O（0,0），P（1，m），当横坐标x从0位时,纵坐标y从0增加

到m(m≥0),称k为这直线的斜率。tanα=m (2)900＜α＜1800的直线的斜率

图中直线上的点O（0,0），P（1，－n），当横

坐标x从0到1增加一个单位时,纵坐标y 从0减少了n(n＞0),称-n为这直线的斜率. tanα=-n 5、不过原点直线的倾斜角和斜率

3 P(1,-n) O A(0,1) y 00x 到1增加一个单α

x

y l

l

l1

l1

y α

O α

x x

O

00≤α＜900 900＜α＜1800 直线l与l1平行(与x轴不垂直),则直线l的斜率k=tanα. 倾斜角α=900的直线的斜率不存在

6、倾斜角和斜率的关系

ktan(900)

问题1

α=00时,斜率k等于多少?

k=tan00=0 问题2

00＜α＜900时,斜率k是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化? k=tan α＞0，倾斜角越大,斜率也越大.

问题3

900＜α＜1800时,斜率k是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化? k=tanα＜0，倾斜角越大,斜率也越大. 练习2

（1）判断下列命题是否正确,为什么? ①所有直线都有倾斜角,所有的直线都有斜率(

×

) ②平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800.( ×

) ③直线的倾斜角越大,它的斜率也越大(

×

) （2）如图所示

直线l1, l2, l3的斜率分别为k1 ,k2 ,k3,试比较它们斜率的大小

4

解：直线l2

的倾斜角比

l3的倾斜角大, 且都为锐角,所以k2>k3>0. 直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0. 故k2>k3>k1. 7、过两点的直线的斜率公式

y P2(x2,y2) P1(x1,y1) △x l △y O y l2 l3 x l1 P(1,k) O x A(1,0)

在直线l上任取不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2). 设△x=x2-x1,△y=y2-y1由相似三角形的关系可得: k=y-y1Dy=2Dxx2-x1通过动画演示，若P1，P2发生变化，k不发生变化，体现P1，P2的任意性.

过两点的直线的斜率公式为:ky2y1(x1x2).

x2x1练习3.求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。 （1）A（3,2）,B（-4,1） （2）A（3,2）,B（4,1） （3）A（3,2）,B（3,-1）

（4）A（3,2）,B（-4,2）

（1）kAB1，锐角7（2）kAB1，钝角（4）kAB0，零度角

（3)不存在练习4.

求下列过已知两点的直线的斜率: 求过两点M（2，1），N（m，2）（m∈R）的直线MN的斜率。

解：当m=2时，直线MN与x轴垂直，

∴直线MN的斜率不存在；

当m≠2时，直线MN的斜率k=

yN-yMxN-xM5 2-11==.m-2m-2

深化拓展：

例

已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,又M(2,-3), N(-3,-2),求直线l的斜率k的取值范围.

归纳小结

1.直线的倾斜角的定义;

2.直线的倾斜角与斜率的关系;

3.过两点的直线的斜率公式及其运用. 作业布置：课本63页1、3、4、5

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