3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt配套的板书设计及意图

人教版新课标普通高中◎数学2

必修（A版）

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1、知识与技能目标 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2、过程与方法目标

经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法. 3、情感、态度与价值观目标

通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 【教学重点、难点】

1.教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 2.教学难点：斜率的计算方法. 教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法. 【教法与学法】

1.教学方法：启发、引导、讨论. 2.学习方法：探究、思考、讨论、练习.

【教学准备】

1.教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.

2.学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值. 【教学过程】

教学教学内容

师生互动

环节

创设我们知道，经过两点有且学生回答（不能确情景

只有（确定）一条直线，那么，定）

导入经过一点P的直线l的位置能（1）它们都经过点P.

新课

确定吗？如图，过一点P可作（2）它们的倾斜程度1

设计意图

设疑激趣导入课题．

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无数多条直线a，b，c，…易不同. 见，答案是否定的，这些直线接着教师提出：怎有什么联系呢？ 样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题. 1．直线倾斜角的概念

教师提问：

当直线l与x轴相交时，倾斜角的取值取x轴作为基准，x轴正向与范围是什么？0°≤α直线l向上方向之间所成的角＜180°

当直线l与x轴垂叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重直时90

合时，规定0. （由学生结合图形回答）

因为平面直角坐标系内教师提问：

的每一条直线都有确定的倾如左图，直线a∥b斜程度，引入直线的倾斜角之∥c，那么它们的倾斜后，我们就可以用倾斜角来角相等吗？

表示平面直角坐标系内的每学生回答后作出一条直线的倾斜程度. 结论. 一个倾斜角不y a 能确定一条直线，进而b 得出确定一条直线位c 置的几何要素. O x 概念形成

概念深化

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角. 2．直线的斜率

一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即ktan. 概念由此可知，一条直线l的形成

倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时，

k = tan45°= 1；

= 135°时，

k = tan135°

通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．

教师提问：（由学生讨论后回答）

（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为设疑激多少？

发学生k = tan0°= 0. 思考得（2）当直线l与x出结论．

轴垂直时，k还存在吗？

= 90°，k不存在. 2

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= –1 .

3．直线的斜率公式

ky2y1.

x2x1概念形成

应用举例

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当y1 = y2时，斜率k

= 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 例1 已知A （3，2），B

（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

【分析】已知两点坐标，而且x1

≠

x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当ktan0时，倾斜角是钝角；

而当ktan0时，倾斜角是锐角；

而当ktan0时，倾斜角是0°. 3

教师提出问题：

给定两点P1 （x1，y1），P2

（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导. 借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程. 学生分析求解

，教师板书

例1 略解：直线AB的斜率k1

= 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角. 直线BC的斜率k2

= –0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义

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例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1. 【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k

= tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 例2 略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1 = （y

–

0）/（x

– 0），

所以 x = y.

可令x

= 1，则y

=

1，于是点M的坐标为（1，1）.此时过原点和点M（1，1），可作直线a. 同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）

引导学师生共同总结交流完生学会善. 自己总结.

（1）直线的倾斜角和斜率的小结

概念. （2）直线的斜率公式. 课堂作业

1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）； （3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2） 【解析】（1）k（2）k4130，所以倾斜角是锐角；

212510，所以倾斜角是钝角；

0(3)（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°；

（4）k2(2)0，所以倾斜角为0°. 632. 已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为

. 【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）

直线PQ的斜率k = tan120°= 3，

∴k

b10(3)3 ， ∴b = –2，即2)

Q点坐标为(0，.4