1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案教学设计导入设计

课 题：§1.3.2球的体积和表面积

授课教师：

桂林八中 蔡丽思

【教材分析】本节课来自人教版全日制普通高中课程标准实验教科书（必修2）1.3.2节，作为空间几何体中的一种特殊旋转体——球体，它的表面积和体积是球半径的函数，这与前面所学习的柱体、锥体、台体的表面积和体积计算思想不同，球体有其独特的对称性和解决问题的方式。在高考中经常会遇到求球的体积与表面积问题，特别是与其他几何体的切、接等问题，是高考的热点与难点。

【教学重点】了解球的体积和表面积公式，并能够利用它们解决几何体的度量问题。

【教学难点】通过公式推导理解球的体积和表面积是球半径的函数；利用球的对称性解决与球有关的空间几何体的度量问题。

【教学目标】

1.知识与技能目标：了解球的表面积和体积计算公式；能解决球与空间几何体的切、接等相关问题. 2.过程与方法目标：培养学生的空间想象能力、运算求解能力以及解决问题的能力. 3.情感态度与价值观目标：让学生在了解球的表面积和体积的推导过程中，体会复杂问题简单化、抽象问题具体化的一般到特殊的问题探究思维方式，通过猜想、观看视频、实物实验等多种解决问题的手段，让学生感悟在数学学习中可以积极建立数学模型帮助自己理解，不失为一种好的学习方法。在利用球的对称性解决与球有关的空间几何体的度量问题时，让学生领会解决问题需要抓住事物的本质。

【教学方法】问题导学法、合作探究法

【教学手段】多媒体教学、实物投影、实物实验

【学情分析】班上学生特别是女生空间想象力较弱，所以，在本节课的教学过程中，首先注意球的有关性质在解题中的应用，如解决与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时与同学认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系。

【教情分析】球的表面积和体积，这节课的主要目的是使学生了解空间几何体中的一种特殊旋转体——球的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积与体积。在高考中经常会遇到求球的体积与表面积问题，特别是与其他几何

体的切、接等问题，解决此类问题的关键是利用球体的对称性，找到半径。球的体积与表面积及基本性质是解决有关问题的重要依据。

【教学流程】

问题

视频

做实验

问题

视频

球体积

球表积

学习

严谨的推导过程

练习运用公式

公式特点

灵活运用

【教学过程】

(一) 感知数学 引入新课 问题1.球的体积可以怎么求呢？如何球变大，体积变化是？地球的体积如何求呢？

【设计意图】：自由回答，发散同学们的思维（有回答曹冲称象法）

引导语1：当球体积改变时，通过简单的等体积测量，我们无法得到体积变化的规律，我们从其他角度去探究寻找体积随半径变化而变化的规律。

活动1.现场实物实验：用矿泉水瓶制作的高为r、底面半径为r的空心圆柱体一个，高为r地面半径为r的圆锥体一个，半径为r的空心半个球体。圆锥放圆柱里，空余部分填满沙子.（沙子的体积等于圆锥体积减去圆锥的体积）。半个球盛满沙子，沙子体积即半个球的体积.发现2个体积相等，得出半个球体积等于圆柱体积-圆锥体积。通过学生自己动手实验，提高孩子们的学习兴趣。

【设计意图】通过实物实验，让学生直观感受到教材32页利用祖暅原理把半球体积等价转化为同底等高圆柱与圆锥之间包围的封闭几何体的体积的真实性。为后面的理解打下现实基础。

活动2.

观看祖暅原理的视频，以及利用祖暅原理把半球体积等价转化为同底等高圆柱与圆锥之间包围的封闭几何体体积的动画图。

【设计意图】通过视频和动画演示，让学生更容易理解如何利用祖暅原理推导球体体积公式。通过严谨的数学证明，证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，动态展示教材32页阅读材料的祖暅原理

活动3.

视频看小女孩做实验，形象直观的得出球的表面积公式. 问题2. 球的表面积可以怎么求呢？请同学们由以上视频自己总结球的表面积公式. 【设计意图】：培养孩子们的数学兴趣、以及抽象概括的数学素养

活动4.小试牛刀

1.若球半径是2，则表面积为___ 2.若球半径是4，则体积为___ 【设计意图】：顺用公式解题，加强对公式的记忆，增强学生学习的信心。

(二) 特殊到一般 归纳规律

具体 一般: 引导语2：当函数自变量改变时，函数值会发生怎样的改变？我们看例1 例1（1）球半径扩大为原来的2倍，表面积变化是？

（2）两个球的体积比为1:27.则两个球的半径之比是多少？

讨论：大小变化的球，其体积、表面积与R有关

【设计意图】引导学生认识球的体积、表面积可看做自变量是球半径R的函数。

(三) 问题揭示 数形结合

引导语3：在生产生活中，我们遇到的很多物体的形状，都可以看作是由柱体、锥体、台体、球组合而成.在简单组合体中，我们如何研究球的体积、表面积相关问题呢？请看例2 例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1)球的体积等于圆柱体积的多少倍

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。 4R3,3V球V圆柱R22R2R3.V球2V3圆柱

S圆柱侧=2pR×2R=4p

R2\S球=S圆柱侧

【设计意图】与已有的知识联系，对比学习新知识。

(四) 理性认识 螺旋上升

单独的球 球的组合体

引导语4：下面我们来研究一类常见的球体问题，请看例3 例3:（1）棱长为a的正方体，求正方体内切球的体积。

重点：带领学生分析内切球的特点，

小问题链引导： 2R=a

1)

球和正方体各面相切，请问一共有几个交点？

2)

我们称交点什么点？

3)

需要求球的体积，需要什么关键量？

4)

你能找出R是哪条吗？

活动5.请同学们分组讨论此题，接着请同学上黑板讲解此题。

小问题链引导：正方形有内切圆，圆与四边相切；正方形有外接圆，正方形的顶点在圆上。类比：

正方体有内接球，那有外接球吗？

（2）正方体棱长为a，外接球的体积。

小问题链引导：正方体与外接球的位置关系？

【设计意图】相切→几何量之间的关系（设球半径R）；

外接→同学们从圆的关键点半径R入手；利用圆的对称性解决问题。

(五) 奇思异想 曲径通幽

问题3：我们可以发现一些空间几何体都存在与它特征有关的球体，比如：内切球、外切球等等，那么大家不妨思考并例举还有哪些空间几何体存在与它特征有关的球体？（请同学们上黑板展示画）

小问题链：你们为什么说它有内切球、外接球？请问选择这些空间几何体的依据是什么？ 【设计意图】引导学生认识到利用球体的对称性解决球体与空间几何体的切、接问题。

(六)归纳小结，提高认识

学生的收获

小结

更综合的概括

下一节的铺垫

a)

学生总结，老师补充

数学知识：球的体积、表面积求法、数学思想：函数思想

数形结合、类比、转化与化归、极限的思想

过程感悟：学生自己写2-3句

b)

在解决正方体的内切球和外接球的时候，我们之所以能够迅速的求出内切球和外接球的半径，是因为球体和正方体都有空间对称性，而且它们的对称中心重合。请课后思考下：还有哪些具有对称性的空间几何体能求出它的内切球或者外接球。

（七）布置作业必做+选做（练习册）。

【板书设计】

学生板演区

球的体积和表面积

例2 公式：

例1 总结：

例3