1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课一等奖教案

1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、学习目标

1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）， 提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意

识，增加学生学习数学的兴趣。

2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，

培养学生转化、化归以及类比的能力。

二、自学内容和要求及自学过程

1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）

<1>在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上 述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

<2>棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

<3>如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

<4>联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你计算出它的表面积吗？

结论：<1>正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.<2>棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.<3>它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).<4>圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，'22'即.S（rrrlrl)

练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 2、阅读教材第25—27页内容，回答问题（柱、锥、台体积）

<5>回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一 种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？

<6>比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为 柱体的高)；

V锥体=（1/3)Sh(S为底面积，h为锥体的高)；

V台体 =(1/3)(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特 殊”形式？

结论：<5>棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=π2rh=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(1/3)Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的1/3.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的1/3,即棱锥的体积V=(1/3)Sh (S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1/3.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(1/3)(S′+S'S+S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.<6>柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式. 练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是 ；④已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是6cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.结果：1/6) 三、作业

1、必做题：教材第29页习题1.3A组第1、2、3题；

2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m

（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）. 四、小结

这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的. 五、教学反思