3.3.4 两条平行直线间的距离名师教学设计2

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.会求两条平行线之间的距离. （重点）

2.初步掌握用解析法研究几何问题. 3.体会数形结合和转化的思想方法

教学过程：

一、复习回顾

1. 两点间的距离注意：用此公式时直线要先化成一般式. 问题：如何求两条平行直线间的距离？

二、探索新知：两条平行直线间的距离

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等. 梳理

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长. (2)图示：

(3)求法：转化为点到直线的距离. (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

|kx0＋b|1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(

×

) 1＋k22.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(

√

) 3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(

√

) |C1－C2|. A2＋B2

类型一

两平行线间的距离

例1

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

10

46m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 44062＋22(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|，解得C＝1，

22＋12∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思与感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y|b1－b2|＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋Byk＋1＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝|C1－C2|

.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. A2＋B2跟踪训练1

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得2＝解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

，

52＋－122|C－6|

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 类型二

利用距离公式求最值

命题角度1

由点到直线的距离求最值

例2

已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

7

10解析

∵x2＋y2－2y＋1＝x－02＋y－12，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，

∴|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝|8－1|62＋82＝7. 10反思与感悟

解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 跟踪训练2

(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

解

直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，

∴OP所在直线方程为y＝x. y＝x，x＝2，由解得

x＋y－4＝0，y＝2.

∴P点坐标为(2,2). (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

解

由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，

∵kOP＝2，

1∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，

2即x＋2y－5＝0. 命题角度2

有关两平行线间距离的最值

例3

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l2⊥AB

且最大值为|AB|＝－3－62＋－1－22＝310，

∴d的取值范围为(0,310]. (2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 反思与感悟

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值. 跟踪训练3

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A.3

B.3

C.33

D.

22考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

求两条平行直线间的距离

答案

D 解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝|5－－10|3＝. 262＋82三、课堂练习

1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

) A.1

B.－1

C.2

D.±2

考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

答案

D |a－1＋1|解析

由题意知2＝1，

1＋12即|a|＝2，∴a＝±2. 2.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为25，则C的值为(

) A.9

C.－11

B.11或－9 D.9或－11 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求参数的值

答案

B |－1－－C|解析

两平行线间的距离为d＝2＝25，

1＋－22解得C＝－9或11. 3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(

) 35A.10

B.

C.6

D.35 5考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

B 解析

点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为35. 54.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

求两条平行直线间的距离

答案

10 |15－5|解析

由两直线平行知，a＝8,6x＋8y＋30＝0可化为3x＋4y＋15＝0，∴d＝＝2，

5∴a＋d＝10. 5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．

考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

(5，－3) |2＋2－1|＝22＋12

解析

由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|最小，

4直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，

33x－4y－27＝0，解方程组

4y－1＝－3x－2，x＝5，得

y＝－3，

∴所求点的坐标为(5，－3)．

1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰. 3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝点到直线的距离. |C1－C2|求解，也可在已知直线上取一点，转化为A2＋B2