小结优秀课堂实录

高三数学复习微专题------利用导数判断函数的单调性

一、教学目标：

1、

判断含参函数的单调性

2、

分类讨论思想探究函数的单调性

3、

培养学生逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养

二、教学重点与难点：

1、

教学重点：利用导数判断函数的单调性

2、

教学难点：分类讨论思想解决有关函数单调性问题的策略

三、全国卷3年考情分析：

年份

全国卷Ⅰ

全国卷Ⅱ

2018

利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21

函数的单调性与导数、导2017

数与函数的最值·T21

利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21

函数的单调性与导数、函数零点的证明·T21

函数的单调性与导数·T21

导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性·T20

全国卷Ⅲ

导数的几何意义、不等式的证明·T21

利用导数研究函数的单调性、最值·T21

利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21

2016

四、教学过程：

例1：判断f(x)11alnx(a0)的单调性

ax

解：定义域（0，+∞）

a1ax1xx2x21令f(x)0xa

（1）当a0时，f(x)0恒成立,f(x)在（0，）上单调递增1a(x)a（2）当a0时，f(x)2xf(x)

0xx1f(x)0,a1f(x)0

a综上：当a0时，f(x)在（0，）上单调递增11当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，在（，）上单调递减aa

设计意图：导函数根含参，要先考虑根是否在定义域内

变式1：判断f(x)2exkx2的单调性

解：定义域为Rf(x)2exk(1)当k0时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增k（2)当k0时，令f(x)0xln2f(x)2exk在R上是增函数k

xlnf(x)02kxlnf(x)02综上：当k0时，f(x)在R上单调递增kk当k0时，f(x)在（，ln)单调递减，在（ln，)单调递增22设计意图：要先考虑导函数的根是否有意义

变式2：判断f(x)2exkx2在（0，）的单调性

解：f(x)2exk(1)当k0时，f(x)0恒成立，f(x)在（0，）上单调递增

（2)当k0时，令f(x)0xlnk2

当lnk0时，即0k2时，2x02ex2e02f(x)0，f(x)在（0，）上单调递增k0时，即k2时，

2kxlnf(x)02kxlnf(x)02综上：当k2时，f(x)在（0，）上单调递增kk当k2时，f(x)在（，ln)单调递减，在（ln，)单调递增22当ln

设计意图：导函数的根要先考虑是否有意义，再考虑是否在定义域范围内

例1及变式1设计意图：通过这两道典例，让学生体会导数含参时，为何要讨论，怎么讨论

例2设计意图：对例1、变式1进行整合，即对于导函数等0的根，先考虑是否有意义，再讨论是否在定义域内

例2：讨论f(x)x2(2a1)xalnx的单调性

解：定义域（0，）a2x2(2a1)xa(2x1)(xa)f(x)2x(2a1)xxx1令f(x)0x或xa2

1当a0时，令f(x)0x21令f(x)00x2

12(x)[x(a)]2当a0时，f(x)x12(x)21120恒成立若a，即a时，f(x)22x1（当且仅当x时等号成立)2111若a，即a时，令f(x)0xa或0x2221令f(x)0xa2111若a，即a时，令f(x)00xa或x2221令f(x)0ax2综上：11当a0时，f(x)在(，)上单调递增，在（0，）上单调递减221当a时，f(x)在（0，）上单调递增2111当a时，f(x)在(0，)，(a，)上单调递增，在（，a）上单调递减222111当a0时，f(x)在(0，a)，(，)上单调递增，在（a，）上单调递减222

设计意图：f(x)0有两根，其中一个根含参，先要讨论含参的根是否在定义域内，如果在定义域内，还要分三种情况讨论两根的大小

变式1：f(x)ae2x(a2)exx，讨论f(x)的单调性

解：f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(1)当a0时，aex10恒成立f(x)0f(x)在R上单调递增1(2)当a0时，f(x)a(ex)(2ex1)a11令ex0xln()aa

11xln()f(x)0f(x)在(，ln())单调递增aa11xln()f(x)0f(x)在(ln()，)单调递减aa综上：当a0时，f(x)在R上单调递增11当a0时，f(x)在(，ln())单调递增，在(ln()，)单调递减aa

设计意图：除f(x)0的根中真数含参外，还要注意参数的正负对于不等式结果的影响

变式2：f(x)ae2x(a2)exx，讨论f(x)的单调性

解：f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(1)当a0时，aex10恒成立xln11f(x)0，f(x)在(，ln)单调递增

2211xlnf(x)0，f(x)在(ln，)单调递减22

11(2)当a0时，f(x)2a(ex)(ex)a211当lnln，即a2时，f(x)(2ex1)20，f(x)在R上单调递增a21111当lnln，即0a2时，f(x)0xln或xlna22a11f(x)0lnxln2a1111ln，即a2时，f(x)0xln或xlna2a211f(x)0lnxlna211综上：当a0时，f(x)在(，ln)单调递增，在(ln，)单调递减221111当0a2时，f(x)在(，ln)，(ln，)单调递增，在（ln，ln）单调递减2a2a当a2时，f(x)在R上单调递增1111当a2时，f(x)在(，ln)，(ln，)单调递增，在（ln，ln）单调递减a2a2当ln设计意图：对例2的整合和提高

例3：判断f(x)lnxx的单调性

x解：定义域（0，）1lnx1lnxx2f(x)12xx2令g(x)1lnxx21g(x)2x0g(x)在(0，）递减x又g(1)00x1时，g(x)g(1)0，即f(x)0x1时，g(x)g(1)0，即f(x)0综上：f(x)在（0,1）上单调递增，在（1，）上单调递减

设计意图：对于f(x)=0的根无法求出，但可以猜出的情况下，如何进一步分析f(x)

x3x21变式1：判断f(x)(x1)e的单调性

322x解：f(x)ex(x1)exx2xx(exx1)令g(x)exx1，g(x)ex10恒成立g(x)在R上单调递增

又g(0)0x0g(x)0xg(x)0f(x)0x0g(x)0xg(x)0f(x)0fx在R上单调递增

ex变式2：判断f(x)e(xlnx)的单调性

x解：定义域（0，）exxex1(x1)(exex)f(x)e(1)2xxx2令g(x)exexg(x)exe在（0，）单调递增又g(1)00x1g(x)g(1)0x1g(x)g(1)0g(x)在x1处有最小值即g(x)g(1)（仅当0x1时等号成立）0x1f(x)0x1f(x)0综上：f(x)在(0，1)单调递减，在（1，）单调递增

变式1、2设计意图：对例3的整合

五、课堂小结：利用导数判断函数的单调性是高考的热点和重点，一般为解答题第一问。讨论函数的单调性其实就是讨论不等式解集的情况，这类问题可以化归为一个含参数的不等式的解集的讨论，若参数的取值影响所求结果，就要分类讨论，分类时要结合题目条件，对参数取值范围进行划分，进而研究问题。含参函数的单调性问题，分类讨论常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，所求的根是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小。