习题2.3第二课时教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、教材分析

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章2.3.1节。本节课主要学***面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

二、学情分析

本节课的受众是高二的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。

三、学习重点、难点

重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

难点：运用直线与平面垂直的定义和判定定理解决数学问题。

四、课标要求

（1）知识与技能目标：

1.用数学语言表述有关平行、垂直的判定与性质；

2.认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。

（2）过程与方法目标：

1.利用PPT请出历史上的四大数学家（开普勒、伽利略、华罗庚、牛顿），让四位数学家对学生进行提问、通关，从而实现对实例、图片的观察，进而概括定义，正确理解定义，增强观察能力，实现从感性认识到理性认识的转变。

2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美。

2.通过直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣。

五、课程实施过程

1．港珠澳跨海大桥的设计问题引入新课

2．逐步探索，得出定义

问题：参照所给图片，你见到的线面垂直的现象有哪些？除了这些以外，你还有什么发现？

【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行思考。

思考：

(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动, 而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆与地面上任意一条不过点O的直线m的位置关系如何?依据是什么？

【师生活动】师生一起给出线面垂直的定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作：l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足。

3. 创设情境，猜想定理

【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。

【实验】准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A,B,C．如图，过△ABC的顶点A折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD、DC边与桌面接触）

【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：

1.折痕AD与桌面一定垂直吗？

2.如何翻折才能保证折痕与桌面所在平面肯定垂直？

3.翻折前ADBC ，翻折后垂直关系还成立吗？

4.通过上面的活动，你能得出直线与平面垂直的一个判定方法吗？

【师生活动】教师引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？

问题：如果我们把折痕抽象为直线l，把BD、CD抽象为直线a、b，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线l与平面垂直的条件是什么？

l

AlaabA

b问题：如果将图中的两条相交直线a、b的位置改变一下，仍保证la，lb，你认为直线l还垂直于平面吗？

【师生活动】教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。引导学生从文字语言、图形语言、符号语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

l

图形语言：

b

符号语言：

AalalbababAl

4.运用定理，证明问题

练习：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请认真观察图形后回答以下问题

C1

D1 A1 B1

D C

A B

(1)

与平面ABCD垂直的直线有 (2)

与直线AB垂直的平面有 例题讲解：如图，在三棱锥V-ABC中

，VA＝VC,AB＝BC,O是AC的中点．

求证：(1)AC⊥平面VOB

(2)VB⊥AC

A

V

O

C

F

B

E

思考：

(1)若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VOB的位置关系；

（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）

(2)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，

求证：(1)PABC (2)BC平面PAC P

C

AO

5.回顾总结，作业布置教材67页--1.2

·B6.阅读材料

（运用向量知识证明直线与平面垂直的判定定理）

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

已知：la，lb，a，b，abA

求证：l

证明：设直线c是平面内的任意一条直线

lb在直线a，b，c，l上任取非零向量a，b，c，l

la，lb la，lb

l·a0，l·b0



abA，a，b不共线

由平面向量基本定理知

Aacxayb，其中xR，yR

l·cl·(xayb)xl·ayl·b0 lc 即 lc

l