信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆名师教学实录

用《几何画板》探究点的轨迹：圆

四川省攀枝花市第十二中学校

张勇辉

●教学目标

1. 知识、方法目标

（1）回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程；

（2）通过《几何画板》探究给定几何条件下的点的轨迹——圆. 2. 核心能力目标

（1）通过实际“操作”，观察、探索、发现在给定几何条件下的动点的运动规律；

（2）根据观察到的现象，运用求轨迹方程的基本方法解释、证明结论. 3. 核心素养目标

通过问题解决，领会数学“实验”思想；培养学生不断反思、探索新知的精神. ●教学重点、难点

1. 指导学生在给定几何条件下，运用《几何画板》进行实验“操作”；

2. 根据观察到的现象，运用求轨迹方程的基本方法和步骤求得轨迹方程——圆的方程；

●教学过程

一、课前预习及课前练习

1. 复习回归轨迹及轨迹方程的有关概念

点的轨迹是指动点按照某个条件运动形成的图形，它是由符合这个条件的所有点组成的集合；

点的轨迹方程是指在平面直角坐标系中动点的坐标(x,y)满足的关系式.（人教A版必修二p122）

2.课前练习：

（1）平面内到坐标原点O的距离等于定长r(r>0)的动点P的轨迹方程为x2+y2=r2.轨迹是以点O为圆心，r为半径的圆. （2）长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点P的轨迹方程为

x2+y2=a2. （3）等腰三角形的顶点A的坐标是(-1,-2)，底边一个端点B的坐标是(2,2)，则另一端点C的轨迹方程是，和（-4，-6））. (x+1)+(y+2)=25（除去（2,2）二、教学过程

例1.已知点A(a,0)和点B(-a,0)（a>0），动点M使得直线MA与MB的斜率之积为-1，求动点M的轨迹. 环节1：请一名学生在《几何画板》上演示符合kMA?kMB22-1的点M的运动形成的大致图形（使用点的追踪功能）；

环节2：根据已学知识和观察到的图形，猜测点M的轨迹可能是圆；

环节3：运用求轨迹方程的知识求点M的轨迹方程: 解：设动点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹为{M|kMA?kMB则-1}. yy?x-ax+a-1. 化简得:x2+y2=a2. 由题意动点M不与点A(a,0)和点B(-a,0)重合，所以x贡a. 故，动点M的轨迹方程为x2+y2=a2(x贡a). 动点M的轨迹为以坐标原点为圆心，a为半径的圆（除去点A(a,0)和点B(-a,0)）.

解题反思：你还有其他的解题方法吗？

另法一：∵

动点M使得直线MA与MB的斜率之积为-1，∴直线MA^MB，?MAB∴

动点M在以线段AB为直径的圆上. 90?. 所以，动点M的轨迹为以坐标原点为圆心，a为半径的圆（除去点A(a,0)和点B(-a,0)）. uuuruuur

另法二：∵

动点M使得直线MA与MB的斜率之积为-1，∴向量MA^MB.

设动点M的坐标为(x,y)，则MA?MB0，即(x-a,y)?(xuuuruuura,ya?)=(x-)(xa+2y=0，化简得)x2+y2=a2.由题意动点M不与点A(a,0)和点B(-a,0)重合，所以动点M的轨迹为以坐标原点为圆心，a为半径的圆（除去点A(a,0)和点B(-a,0)）.

例2.

已知点P(2,0)，Q(8,0)，动点M与点P的距离是它与点Q的距离的环节1：一个学生在《几何画板》上演示符合1，求动点M的轨迹方程. 5|MP|1=的点M的运动形成的大致图形（使用点的追踪功能）；

|MQ|5环节2：根据已学知识和观察到的图形，猜测点M的轨迹可能是圆；

环节3：运用求轨迹方程的知识求点M的轨迹方程: 禳镲|MP|1M|=解：设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹为镲. 睚镲|MQ|5镲铪骣7鼢21珑则. 化简得:x-鼢+y==珑鼢珑2桫245(x-8)+y骣7鼢2所以，动点M的轨迹方程为：珑x-鼢+y=珑珑桫4鼢

解题反思：若将本题中的条件“2(x-2)+y222骣5. 桫4骣5. 桫422|MP|1|MP|=”=l(l>0)”，更改为“，结果会怎样呢？

|MQ|5|MQ|禳镲|MP|M|=l解：设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹为镲睚镲|MQ|镲铪则(l>0). (x-2)+y2(x-8)+y222=l. 化简得: .(l2-1)x2+(l2-1)y2-(16l2-4)x+64l2-4=0(*)

当l=1时，由(*)式可得x=5，轨迹是过(5,0)点垂直于x轴的直线；

当l稳(0,1)骣8l2-2÷2ç÷由(*)式可得：x-+y=(1,+?)时，ç÷2ç÷l-1桫2骣6lççç桫l2-骣6l8l2-2÷ç÷÷,0，轨迹是以为圆心，以ç÷ç÷l2-1l2-1÷1÷桫2为半径的圆.

课堂小结

1. 《几何画板》是学***面几何和平面解析几何的重要辅助工具，在以后的学习中我们会更多地使用，帮助解决更多的、较为复杂的平面解析几何问题；

2. 要熟练掌握求轨迹方程的一般步骤，写出的轨迹方程要化简，转化为熟悉的几何方程；

3. 写出轨迹方程后，要注意根据条件，除去轨迹上不满足题意的点；

4. 要注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程是解析式，轨迹是方程表示的曲线. 三、课后练习

1.已知：点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A(2,0)，当P点在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程. 2.已知圆(x-5)+(y-4)=9及圆内一点A(4,3)，在圆上作弦MN,使?MAN迹方程. 3.由点P分别向两定圆C1:(x-2)+y2=1及圆C2:(x+2)+y2=1所引切线段长度之比为1：2，求点222290?,求弦MN中点P的轨P的轨迹方程. 参考答案：

骣9鼢骣7骣10÷732ç1. (x-1)+y=4；2. 珑；3. . x-+y-=4x-+y=鼢÷珑ç珑ç桫2鼢桫2桫3÷922222