复习参考题教案教学设计导入整理

简单多面体外接球问题（二）

——直棱柱、特殊三棱锥外接球问题

上课班级：平行级部高三11班（文科） 上课教师：邱军

一、教学目标

知识与技能：学会应用球的截面性质来解决直棱柱、特殊三棱锥的外接球问题。

过程与方法：建立空间感，有效落实直观想象和逻辑推理的数学学科核心素养，体会转化的数学思想以及模型化的解题方法。

情感、态度、价值观：完善知识体系，增进对学习数学的信心和兴趣。

二、教学重点和难点

重点：球的截面性质的灵活应用

难点：球心位置的确定

三、教学过程设计

（一）引例

BC4，现沿其对角线BD折成三棱锥ABCD，则如图，矩形ABCD中，AB3，该三棱锥外接球的表面积为_____25_________。

B C C B D A D A 问：球心在哪里？怎么找到的？如何求半径？

知识回顾：

1、多面体外接球的概念：

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个球体是这个多面体的外接球。

2、多面体外接球的球心到这个多面体各顶点的距离相等。

3、两个具有公共斜边直角三角形组成的三棱锥的的外接球的直径就是这条公共点斜边。

1

小试牛刀1：

（2015昆明市统测改编）16.如图，已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，若ACBADB90，CBD90，BC2,AC23,BDAD22，则球O的表面积为________16_______。

（二）典例精析

B C D A （2013全国高考课标卷改编）如图1所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，若ABAC3,BAC60,AA14，则球O的半径R____7____。

A O2

B 图1 B1

O C A B 图2 C A1

O1

C1

A1

B1

C1

变式：如图，已知直三棱柱ABC1A1BC1的六个顶点都在球O的表面上，若BC3,BAC60,AA14，则球O的半径R______7_________。

引申1、若BC3,AA14BAC90时，则R_____5_____；

2引申2、若BC3,AA14BAC120时，则R______7____。

BOCrAa=2rsinA2

知识梳理

1、解决多面体外接球的问题：先定球心，再求半径。

2、确定球心的位置时，可以考虑利用多面体和球体的对称特征。

3、球的截面性质：

（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面小圆；

（2）球半径R，截面小圆的半径r，球心到截面的距离d之间的关系是：R2d2r2。

对于直棱柱结论：

1、其外接球的球心在它上、下两个底面多边形外接圆圆心连线的中点；

2、球心到截面的距离d等于棱柱高h的一半；

3、对于截面三角形的外接圆半径r，利用正弦定理可优化运算，2r4、利用球的截面性质，构造直角三角形：R2d2r2求半径R；

变式1、已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，且PA平面ABC，ABAC3,BAC60,PA4，则球O的半径R_____7______。

a。

sinA

P A B C 变式2、已知四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，且平面PAD平面ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，且AB4,AD3,则球O的半径R_____7______。

P

3

D C A B

解题感受：

1、对于有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，可补体成直棱柱求解其外接球问题。

2、对于有一个侧面垂直于底面，底面是矩形的四棱锥，可补体成直棱柱求解其外接球问题。

挑战自我，大显身手

如图，在三棱锥ABCD中，AD平面BCD，CBD90，BC3，ADDB4，则该三棱锥外接球的表面积是_____41_____。

（四）课堂小结

1、解决多面体外接球的相关问题，基本思路：先定球心，再求半径。

两个基本几何体模型：

（1）具有公共斜边的两直角三角形构成的三棱锥，公共斜边就是其外接球的直径；

（2）对于直三棱柱，解题的核心是：利用球的截面性质，球心到截面的距离d等于棱柱高h的一半；对于截面三角形的外接圆半径r，利用正弦定理可优化运算，2r从而，根据R2d2r2可求得半径R。

2、特殊三棱锥可以通过补体的方法，构造直棱柱来辅助求解。

（五）课外作业：详见学案

a。

sinAD B A C 4