复习参考题教案板书设计

章末复习提升课

空间几何体的三视图与直观图

(1)一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(

)

A．6＋83 C．12＋83 B．12＋73 D．18＋23 (2)如图，ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝22，则该平面图形的实际面积是________．

【解析】

(1)由三视图知，该几何体为三棱柱，其直观图如图所示．表123×1××2＋3×23＝12＋83. 面积S＝(3×2)×2＋2

(2)由斜二测直观图的作图规则知，该平面图形是梯形，且AB、CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝42，

1所以S＝×(4＋6)×42＝202. 2【答案】

(1)C

(2)202

两种画法规则

(1)三视图画法：它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出．

(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形的画法或立体图形的画法．它的主要步骤为：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

23

已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为，则该锥体的俯3视图可能是(

)

23解析：选C．由正视图得该锥体的高是h＝22－12＝3，因为该锥体的体积为，3232333所以该锥体的底面面积是S＝＝＝2，A项的正方形的面积是2×2＝4，B项的圆的13h331面积是π×12＝π，C项的大三角形的面积是×2×2＝2，D项不可能是该锥体的俯视图，故2选C．

空间几何体的表面积与体积

(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(

)

A．18＋365

C．90 B．54＋185 D．81 (2)已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图的轮廓和俯视图都是等腰直角三角形，正视图的轮廓为直角梯形，则该棱锥的体积为(

)

A．8 C．32 B．16 D．48 【解析】

(1)由三视图，知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×35＝54＋185，故选B．

1(2)由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其底面积为S＝×(2＋4)×4211＝12，高h＝4，故体积为V＝Sh＝×12×4＝16，故选B．

33【答案】

(1)B

(2)B

空间几何体表面积、体积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(4)求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解．

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则

四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为(

)

A．6 C．12 B．8 D．18 解析：选C．因为E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，所以VA1­11＝V＝V＝V，

­­AEFFA1AE2FA1ABB16ABCD­A1B1C1D1又三棱锥A1­AEF的体积为2，

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为12. 故选C．

球与其他几何体的组合问题

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(

) A．C．2

62

3B．D．3

62

2【解析】

设△ABC外接圆的圆心为O1，

则OO1＝OC2－O1C2＝

161－＝. 3326. 3三棱锥S-ABC的高为2OO1＝所以三棱锥S-ABC的体积

13262V＝××＝.故选A．

3436【答案】

A

解决与球有关组合体问题的常用方法

(1)与球有关的组合体，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：

①明确切点和接点的位置；

②确定有关元素间的数量关系；

③作出合适的截面图．

(2)一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，将立体问题转化为平面问题解决．

1．已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝2，PB＝3，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为________．

解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为PA2＋PB2＋PC2＝3，

349即球半径为，V球＝πR3＝π. 2329答案：π

22．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆3锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比16值为__________．

解析：设圆锥的底面半径为r，球面半径为R，

3则πr2＝×4πR2，

16解得r＝3R，

21所以对应球心距为R，

211故小圆锥的高为R－R＝R，

2213大圆锥的高为R＋R＝R，

221所以比值为. 31答案：

3

几何体的截面问题

将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．

(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；

(2)求出截得棱柱的体积的最大值．

【解】

(1)横截面如图长方形所示，

由题意得A＝x·4－x2(0

(2)V＝1·x4－x2＝－（x2－2）2＋4，

由上述知0

常见截面类型及注意事项

(1)常见的截面有对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、规定角度的截面等等)．我们可以利用截面把立体几何中的元素集中到平面图形中来，利用“降维”的思想，实现立体几何问题向平面几何问题的转化．

(2)解决有关截面问题时要注意：①截面的位置；②截面的形状及有关性质；③截面的元素及其相互关系；④截面的有关数量．

一个圆锥的底面半径为2，高为6，在它的内部有一个高为x的内接圆柱．

(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；

(2)当x为何值时，S最大？

解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示．

设圆柱的底面半径为r，

x2－r则由三角形相似可得＝，

62x解得r＝2－. 3(1)圆柱的轴截面面积为

2－x·x＝－2x2＋4x(0

S＝2r·x＝2·33

222(2)S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6(0

333所以当x＝3时，S取最大值6.