4.3.2 空间两点间的距离公式优秀说课稿

课题： 4.3.2 空间两点间的距离公式

教材分析：

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．

课 型：

新授课 教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．

教学重点：空间两点的距离公式．

教学难点：空间两点的距离公式的推导

教学过程：

一、复习准备：

1.

提问：平面两点间的距离公式？

2.

给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由

． 3.

建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

二、讲授新课：

1．空间两点的距离公式

（1）设问：你能猜想一下空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？如何证明？， 因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式|P1P2|(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．

在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目

的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．

（2）学生阅读教材P136- P137内容，教师给与适当的指导．

思考：1）点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离？

2) M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，

y1=y2，z1=z2．

讨论：如果OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形？

2．例题1：求点P1(1, 0, -1)与P2(4, 3, -1)之间的距离．

要求学生熟记公式并注意公式的准确运用

练习：求点A(0,0,0)到B(5,2,2)之间的距离

3．例题2：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值．

分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得．

解：|AB|=6，∴(x5)2(24)2(37)26

即(x5)216，解得x=1或x=9 ∴x=1或x=9 总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．

练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．

答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．

4．思考：1.在z轴上求与两点

A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点．

2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等．

5．例题1．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离．

解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）H . 过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，

x

又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心．由定比分点公式，可得H点的坐标为(,,)

∴|PH|=(0)2(0)2(0)2333aaa33a．

aaa333∴点P到平面ABC的距离为3a．

36．例题2．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD1与CC1间的距离．

解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．

设P、Q分别是直线BD1和CC1上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，a,z1)，则由正方体的对称性，显然有x=y． 要求异面直线BD1与CC1间的距离，即求P、Q两点间的最短距离．

设P在平面AC上的射影是H，由在BDD!中，A z D1A1P D x H B C1B1Q C y zaxPHBH，所以，∴x=a-z，

aaD1DBD∴P的坐标为(a-z, a-z, z) ∴|PQ|=(az)2z2(zz1)2

a2a2 =(zz1)2(z)

222∴当zz1时，|PQ|取得最小值，最小值为∴异面直线BD1与CC1间的距离为2a．

2a22a．

2

例题；点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？

分析：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线．

解：设点P的坐标为(x, y, z)．

点P在坐标平面xOy内，∴z=0 |PA|=5，∴(x1)2(y2)2(z4)25，

即(x1)2(y2)2(z4)2=25，

∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，

∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影A(-1,2，0)．

点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，

∴在坐标平面xOy内的圆A的半径为3．

∴点P的轨迹是圆(x1)2(y2)2=9，z=0．

小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决．

三：巩固练习：

1．P138

练习 1、3 2．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．

3．点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程．

答案：点P的轨迹方程是(x1)2(z2)2=16，y=0．

四．小结

１．空间两点的距离公式的应用．

课后记:

四．小结：

1．空间两点的距离公式的推导．

2．公式的应用

课后记: