复习参考题教学实录及点评

教学设计

2018年优课教学设计

直线与方程复习课（第二课时）

（人教

A 版

2003 课标版

高中

数学

必修2第三章直线与方程——复习参考题）

一、教材分析

普通高中课程标准实验教科书（人教社

A 版）必修2中的《直线与方程》章节，作为高中阶段学习解析几何的入门章节，在整个高中教学体系中起到了很好的承上启下作用. 学生对直线来说可谓是“既熟悉又陌生”，从引入直线“倾斜角”，“斜率”等概念，到各种直线的方程，位置关系，距离等问题的层层递进，让学生对直线以及解析几何有了更为深入的理解. 课本章末的复习参考题为本章的回顾复习提供了指引与素材，是作为对整章书内容非常好的系统归纳与提升的工具，既能帮助学生有效整合知识、提炼思想方法，也能引导学生掌握学习方法、感知数学应用. 本节课的教学内容虽然是复习课的第二课时，但仍然在本章一些重点与难点内容的选取上，与课本复习参考题有着很深的契合度，比如例1的含参数问题，是对课本B组第3题很好的一种变式训练；例2的方程求法则是从另一个学习高度让学生自主的根据条件的不同选择不同的方程形式进行求解，与课本A11,B1,B4等题目相互对应；例3的综合应用则是对本章内容的做一个升华处理，也与A12,B1,B9等问题相互呼应，很好地让学生感受数形结合以及解析几何的魅力.

二、学情分析

作为解析几何的入门章节，学生通过与初中知识的衔接，在高中知识背景下，更加系统地学习了倾斜角，斜率，各种方程形式，对直线有更深的了解与认识. 本课时为章末复习课的第二课时，第一课时已经对课本复习参考题进行了分类与讲评，通过本课时对复习参考题中几个重点问题予以变形拓展，从几个不同角度将知识与方法思想进行重新整合. 学生已经基本掌握直线方程的求法，直线斜率及其变化，以第

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及简单的对称问题，本课时主要在复习知识、整合方法的同时，引导学生在直线相关问题的切入点，直线方程的选择，以及数形结合思想上有更多思考的角度与深入的分析，为后续解析几何的学习奠定良好的思想方法基础.

三、教学设计思想

作为章末复习课的第二课时，本课是在已经处理章末复习参考题的基础上，将几个问题进行整合与综合提高，变式拓展，主要包括含参数直线系分析，直线方程的合理选择，以及处理相关几何问题的转化，通过创设师生交流、生生交流的教学情境，从易到难，由浅入深，逐步启发，引导推进，带领学生感知直线的变化，理解与思考“数与形”的巧妙转变，以及知识点之间的转换与串联.

教学手段上，借助多媒体平台，运用几何画板、PowerPoint课件整合教学内容，提高课堂效率，同时营造生动活泼的课堂教学氛围；将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学知识的理解和掌握，使学生在学习中体会到成功的喜悦. 在“教”的方面，既有效复习整合章节知识，又提炼升华章节思想方法；在“学”的方面，既能对重点的

“含参”问题进行深入分析与学习，又能从更多的角度掌握学习解析几何的方法，将抽象的问题具体化，形象化，达到启发思维的效果.

四、教学目标设计

（一）知识与技能

(1)

分析与解决含参数直线方程问题

(2)

根据已知条件，合理利用不同直线形式进行假设，熟练应用待定系数法求直线方程；

(3)

应用直线方程解决对称相关问题.

（二）过程与方法

(1)

通过对实例的分析和提炼，培养学生观察、分析和解决问题的能力；

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(2)

引导学生从数和形两方面深入理解直线与方程中的斜率，截距位置关系等问题，渗透数形结合的数学思想；

(3)

通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达和逻辑思维能力.

（三）情感态度与价值观

(1)

发挥学生的主体作用，激发学生学习数学的兴趣；

(2)

让学生体验数学思维活动的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；

(3)

利用直线方程解决平面几何的相关问题，培养学生的数学应用意识.

五、教学重点与难点

（一）教学重点：掌握及应用直线的相关属性

（二）教学难点

(1)

根据条件选择适当直线方程；

(2)

根据含参直线系类型，利用几何性质，数形结合分析直线相关问题.

六、教学过程设计

考点一：含参数直线方程问题

【例1】直线l的方程为(a+1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

（1）求证：不论a为何值，直线l恒过第四象限；

（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；

（3）若直线l与连接点A(－2,3)，B(3，2)的线段有交点，求a的取值范围.

思路引导：

（1）含参数的直线方程即为不确定的直线方程，引导学生分析直线所代表的直线系方程，从而思考到利用定点问题去解决；

（2）由第（1）问的定点，引导学生考虑斜率的变化，同时利用几第

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何画板（如图演示），以边看动画边分析的形式，让学生思考直线的斜率应该满足什么样的条件；

（3）由第（1）问的定点，结合题目所涉及的线段AB，利用图像中定点直线的变化让学生将问题转化为斜率取值范围问题.

设计意图：含参数直线方程是解析几何问题中常见的命题模式，本题的设计意图

从定点问题入手，引导学生在分析解析几何问题的同时应当辅助图像进行分析，

选择恰当的分析点，从而解决不同类型的含参数问题. 问题的设置符合认知的规

律，层层递进，激发学生的学习兴趣，感知知识的发现与推导过程，体验数学思

维的严谨和数形结合的魅力.

考点二：待定系数法求直线方程

【例2】求满足下列条件的直线l的方程．

（1）过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6；

（2）点M(－1,2)，N(5,5)关于直线l对称；

（3）横纵截距相等且不为0，点P(4，3)到直线l的距离为32；

（4）与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6.

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关键. 学生应当在平时的课堂和练习中培养一种良好的“嗅觉”与第一反应，这

是本题的最大目的. 本题是这节课课堂互动的问题，让学生自己课堂完成，并回

答选择该方程类型的原因与做法，由老师提问，学生进行分析，形成课堂良好的

互动，在分析中比对各种不同方法的优劣性，同时提高学生分析问题的效率和增

强学生做题的信心. 考点三：直线问题的综合应用

【例3】已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），AB边上的高所在的直线方程为x－2y+3=0，角B的平分线所在的直线方程为x + y－4=0，求此三角形三边所在的直线方程．

思路引导：

1.

分析题目条件，结合图形找到解题的突破口在于AB边上的高所在的直线方程，利用垂直直线系方程求方程AB，再联立角平分线求出B点坐标；

2.

思考本题的难点——角B的平分线应当如何应用，引导学生如何从几何性质去推导出对题目分析有利的条件，根据学生的认知情况，引导学生可能思考到的两个方向：一个是角平分线上的点到角两边距离相等；另一个则是对称问题. 根据两种思路给学生进行分析，详细解答思路二；

3.

引导学生认识到角平分线问题实质上可以是一种线关于线对称的问题.

C 思路一图解

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设计意图：直线方程的形式多样，针对不同的条件类型选择恰当的方程是解题的A A D D B B C A′

思路二图解

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【练习】已知三角形ABC的一个顶点A（2，3），角B和角C的两个外角平分线所在的直线方程分别为x + y－4=0和y=

x，求直线BC所在的直线方程. 【思考】已知点A(－4,1)，

B(1,6)，P为直线l1：x－y＋3＝0上一点，求PAPB的最小值.

【本课小结】

1.

对于含参数直线方程，应善于从定点、斜率、截距等直线关键元素进行主动分析，找到解题的突破口；

2.

求解、假设直线方程时应当根据题目条件选择适当方程形式，结合图形，更快，更易，更准地求解直线方程；

3.

涉及斜率问题时应注意对斜率的存在性进行探讨；

4.

角平分线问题是线线对称问题的一种体现.

【作者介绍】肖朝欣，汕头市第一中学，高中中学一级教师

设计意图：以学生熟知的三角形为载体，让学生在解题过程中感受到解析几何题的环环相扣，在探究讨论中激发学生的学习兴趣，增强对所学知识的理解，提升探究与应用的意识. 第

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