2.1.4 平面与平面之间的位置关系第二课时教案

[A

基础达标] 1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(

) A．0个

C．无数个

B．1个

D．1个或无数个

解析：选D．当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．

2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是(

) A．60°

C．60°或120°

B．120°

D．不确定

解析：选C．若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°．

3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(

) A．α⊥γ，β⊥γ

C．a∥β，a∥α

B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β

D．a∥α，a⊥β

解析：选D．由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β．

4．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为(

) A．45°

C．60°

B．90°

D．30°

解析：选B．如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝2a．在Rt△AFC中，易得AC＝a．所以△ACD为正三角形．又因为E是2CD的中点，所以AE⊥CD，即∠AED＝90°．

5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是(

)

A．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ABC⊥平面BDC

B．平面ADC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

解析：选D．由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．

6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．

解析：因为在原△ABC中，AD⊥BC，

所以折叠后有AD⊥BD，AD⊥CD，

所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角．

因为平面ABD⊥平面ACD，

所以∠BDC＝90°．

在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝所以BC＝

答案：1 7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．

222＋2＝1．

222，

2

解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．

答案：5 438．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A-BD-P5的度数为________．

解析：过点A作AE⊥BD，连接PE(如图)，则∠AEP为所求角．

由AB＝3，AD＝4知BD＝5，

又AB·AD＝BD·AE，

12所以AE＝．

54353所以tan∠AEP＝＝．

1235所以∠AEP＝30°．

答案：30°

9．

如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点．求证：平面C1BD⊥平面BDE．

证明：连接AC交BD于点O，则O为BD的中点，连接C1O，EO，C1E．

因为EB＝ED，点O是BD的中点，

所以BD⊥EO．

因为C1B＝C1D，点O是BD的中点，

所以BD⊥C1O，所以∠C1OE即为二面角C1设正方体的棱长为a，

则C1O＝

EO＝

C1E＝

622a＋a＝2a，

2222a＋2a＝3a，

222BDE的平面角．因为E为AA1中点，13（2a）＋2a＝2a，

22所以C1O2＋EO2＝C1E2，

所以C1O⊥OE，所以∠C1OE＝90°．

所以平面C1BD⊥平面BDE．

10．

已知三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20．D为AB的中点，且△PDB为等边三角形，PA⊥PC．

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求二面角D-AP-C的正弦值．

解：(1)证明：在Rt△ACB中，D是斜边AB的中点，

所以BD＝DA．

因为△PDB是等边三角形，

所以BD＝DP＝BP，则BD＝DA＝DP，

因此△APB为直角三角形，即PA⊥BP．

又PA⊥PC，PC∩BP＝P，所以PA⊥平面PCB．

因为BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．

又AC⊥BC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．

(2)由(1)知PA⊥PB及已知PA⊥PC，

故∠BPC即为二面角D-AP-C的平面角．

由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC．

在Rt△BPC中，BC＝4，BP＝BD＝10，

BC42所以sin∠BPC＝＝＝，

BP1052即二面角D-AP-C的正弦值为．

5[B

能力提升]

11．如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(

) A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析：选C．要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE．

12．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为(

) A．a

C．3a

21B．a

2D．3a

解析：选C．设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE．

则BD⊥CE，BD⊥A1E．

于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角．

故∠A1EC＝60°．

因为A1E＝CE，

所以△A1EC是等边三角形．

所以A1E＝CE＝A1C＝13．

3a．

2

如图，三棱台DEF-ABC中，

AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．

证明：

(1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH．

在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF．

因为G是AC的中点，

所以DF∥GC，且DF＝GC，

所以四边形CFDG是平行四边形，所以DM＝MC．因为BH＝HC，所以MH∥BD．

又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，

所以BD∥平面FGH．

(2)因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．

因为AB⊥BC，所以GH⊥BC．

又H为BC的中点，

所以EF∥HC，EF＝HC，

所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE．

因为CF⊥BC，所以HE⊥BC．

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，

所以BC⊥平面EGH．又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH．

14．(选做题)

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，FAEAF分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．

ACAD(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

解：(1)证明：因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD．

因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．

又因为AB∩BC＝B，

所以CD⊥平面ABC．

AEAF因为＝，所以EF∥CD，

ACAD所以EF⊥平面ABC．

又因为EF⊂平面BEF，

所以平面BEF⊥平面ABC．

故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC．

(2)由第一问得EF⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，

所以EF⊥BE．

要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC．

因为∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，所以BD＝2．

又因为AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，

所以AB＝6，AC＝7，

AB·BC4267所以BE＝＝，所以AE＝，

AC77AE6所以λ＝＝．

AC76故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．

7