探究与发现 为什么截口曲线是椭圆ppt课件课堂实录

第八节

曲线与方程

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

3．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐F1x，y＝0，标即为方程组的实数解．

F2x，y＝0

若此方程组无解，则两曲线无交点．

[小题体验]

11，0，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线1．已知点F44与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(

) A．双曲线

C．圆

B．椭圆

D．抛物线

解析：选D

由已知知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

2．(教材习题改编)和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为________．

解析：设点的坐标为(x，y)，

由题意知(x－02＋y－02)2＋(x－c2＋y－02)2＝c，

即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，

即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0．

答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0

1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．

[小题纠偏]

―→―→1．(教材习题改编)若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是(

) A．圆

C．双曲线

B．椭圆

D．抛物线

―→―→解析：选A

∵PM·PN＝0，∴PM⊥PN．

∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．

aa－，0，C，0(a＞0)，且满足条件2．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B221sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．

2|AB||AC|1|BC|解析：由正弦定理得－＝×，

2R2R22R1即|AB|－|AC|＝|BC|，

2a故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．

216x216y2即动点A的轨迹方程为2－2＝1(x>0且y≠0)．

a3a16x216y2答案：2－2＝1(x＞0且y≠0) a3a

考点一

直接法求轨迹方程基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是(

) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：选A

设P点的坐标为(x，y)，

则x－12＋y＋22＝3x2＋y2，

整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．

2．已知M(－2,0)，N(2, 0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(

) A．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝2(x≠±2)

解析：选D

设P(x，y)，

∵△MPN为以MN为斜边的直角三角形，

∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，

∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，

整理得x2＋y2＝4．

∵M，N，P不共线，∴x≠±2，

∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D．

―→―→―→―→3．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

解：设M(x′，0)，P(0，y′)，N(x，y)，

―→―→由MN＝2MP，得(x－x′，y)＝2(－x′，y′)，

B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝4(x≠±2) x－x′＝－2x′所以解得yy＝2y′，y′＝.

x′＝－x，2

―→―→―→―→因为PM⊥PF，PM＝(x′，－y′)，PF＝(1，－y′)，

所以(x′，－y′)·(1，－y′)＝0，

即x′＋y′2＝0，

y2所以－x＋2＝0，

即y2＝4x．

因此所求的轨迹方程为y2＝4x．

[谨记通法]

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．

考点二

定义法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2016·北京模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．

解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，

|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6．

根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支，

x2y2方程为－＝1(x>3)．

916x2y2答案：－＝1(x>3) 9162．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________．

解析：设圆M，圆N与动圆P的半径分别为r1，r2，R．

因为圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的x2y2椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．

43x2y2答案：＋＝1(x≠－2) 43[由题悟法]

定义法求曲线方程的2种策略

(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．

(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．

[即时应用]

1．若[典例引领]第2题中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都内切”，则圆心P的轨迹方程为________．

解析：由两圆方程知圆M与圆N相内切，设切点为A,若圆P与圆M、圆N都内切，则切点必为A点，且动圆P的圆心在x轴上.

①若圆P在圆M和圆N的内部与两圆内切，则点P在线段AM（不含端点）上；②若圆P在圆M外部及圆N内部与两圆内切，则点P在线段MN（不含端点）上；

③若圆P在圆M和圆N的外部与两圆内切，则点P在射线Nx（不含点N点P的轨迹方程为y=0（x∈（-2, -1）∪（-1,1）∪（1,+∞））. 答案：y=0（x∈（-2,-1）∪（-1,1）∪（1,+∞））

2．已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2，则曲线Γ的方程为________．

解析：法一：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y．

法二：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

则|y－(－3)|－x－02＋y－12＝2，

依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，所以x－02＋y－12＝y＋1，

化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y．

答案：x2＝4y

考点三

代入法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

x22―→如图，已知P是椭圆＋y＝1上一点，PM⊥x轴于M．若PN＝4―→λNM．

(1)求N点的轨迹方程；

(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．

解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，

则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，

―→∴PN＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，

）上.所以动

―→NM＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，

―→―→由PN＝λNM得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．

∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y．

x22∵P(x1，y1)在椭圆＋y＝1上，

42x1则＋y21＝1，

4x2∴＋(1＋λ)2y2＝1，

4x2故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．

41(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，

413解得λ＝－或λ＝－．

2213∴当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．

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