探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案公开课一等奖

第13讲 椭圆的再认识

【课题名称】

人教版高中数学选修2-1第13讲椭圆的再认识

【教学背景】

本讲内容以椭圆的来源、生活中的椭圆为背景，涉及椭圆的第一第二定义，具有一定的探究性。

【教学目标】

（1）

了解椭圆的来源及生活科技中的椭圆

（2）

通过对问题的观察、思考、归纳等过程，进一步体会数学知识之间的内在联系，渗透普遍联系的辩证观点。

（3）

培养学生主动探究、严谨治学的态度、勇于探索的学习品质，提高分析问题和解决问题的能力。激发学生学习的兴趣，体现数学的美学价值. 【教学重点】

椭圆中的来源、生活中的椭圆

【教学难点】

椭圆第一第二定义的运用

【教学方法】

讲授式

【教学过程】

在选修2-1，2.2节中重点学习了椭圆的方程和几何性质，在后两节将继续学习与椭圆同属于圆锥曲线的双曲线、抛物线的方程和几何性质。椭圆问题计算量大，题型变化多，学习难度偏大，之所以要学习这么难的内容，一切都源于人类对其几何特征以及性质的充分利用（如图1）：为了美观有些桌子的造型就是椭圆型的；在超市的柜台里各种造型的酒杯里我们也能找到轴截面是椭圆型的；利用地球与其他星球的引力，人类发射各类卫星用于科学探测和研究或直接为人类服务，通过控制其速度，使其绕着相应的星球作圆形、椭圆形或抛物线形运动。。。。。。。这最早要追溯到公元前约200年，当时有一位古希腊数学家阿波罗尼已经对椭圆、抛物线、双曲线的性质进行了系统的研究，在一次实验中他用一个平面去截一个对顶圆锥，在这个实验中他发现，当平面从平行于底面的位置慢慢倾斜，也即当截面与圆锥轴的夹角不同时，依次得到了不同的截口曲线（如图2），它们分别是椭圆、抛物线、双曲线，正因为他们均可来源于圆锥，因此从那时候开始也就将这三种曲线统称

为圆锥曲线了。

图1

图2当然，当时的阿波罗尼也仅仅是一个感性认识，在接下来近2000年的历史中，大量的数学家们尝试从纯几何学角度给予其理性的证明。直到19世纪，法国数学家丹迪林（Germinal Dandelin ，1794 - 1847) 用一种非常巧妙的方式对“垂直于圆锥轴的平面适当倾斜，得到的封闭截口曲线是椭圆”进行了简单的纯几何证明（如图3）。根据椭圆的定义，在截口曲线内部找

两个定点、在截口曲线上任意找一个动点，证明该动点到两个定

点之和为定值。为此丹迪林在圆锥内放入两个大小不同的球，使

得他们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，

F(这两个特殊的切点后来被证明是椭圆的焦点,因此这两个球被后

人戏称为“丹迪林双球”)，然后在截口曲线上任取一点P,过

点P作圆锥的母线，该母线分别与两个球相切于C,D两点，由切点

C,D的产生方法可知，它们之间的距离CD是定值。自此连接PE，PF，

那么由球和圆的几何性质，我们可以知道PE=PC，PF=PD，于是

CFEPDPE+PF=PC+PD=CD。

这样，截口曲线上任意一点P到两个定点E,F的距离之和为

图3常数。由椭圆的定义可知，该截口曲线是椭圆。

丹迪林的工作非常巧妙，极具创造性。其实生活中的一些现象也等待你的发现和探究

呢？比如用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱(如图4)，也得到一条截口曲线：该截口曲线也是一个椭圆。 课外探究题：运用丹迪林双球的方法证明该截口曲线是一个椭圆。

图4图5F另外，在太阳光的照射下篮球的影子形成的边缘曲线也是“椭圆”(如图5 )，

这样就得到了一个命题：在平行光束的斜照下篮球在地面的影子边缘曲线是椭圆。那么这个命题的真假又如何判定呢？其实在这个场景中篮球与地面有且仅有一个切点，通过丹迪林的例子不难猜想出这个切点F也应该是椭圆的其中一个焦点。但是仅靠这一个定点，无法利用定义进行证明。其实在选修2-1 76页的阅读与思考中给出了圆锥曲线的统一定义：

平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（不过F点）的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线.并且

（1）

当比值0

（2）

当比值e>1时，轨迹是双曲线；

（3）

当比值e=1时，轨迹是抛物线. 此处，定点F是它的焦点，比值e是它的离心率.定直线l是它的准线.因此面对只找到一个定点的情况，可以尝试着找一条定直线。实际上形成影子边缘曲线的球的这一蓝色大圆面对应着一个平面β，该平面β与地平面γ相交于一条定直线l，且这两个平面所成的角是确定的（如图6 ）。至此定点F和定直线l都有了。在影子边缘曲线上任取一点P,连接PF,并过点P作l的垂线，垂足为Q.按照圆锥曲线的统一定义只需βlMFγP图6证明PF与PQ的比值在0——1之间，则即可证明该命题是一个真命题。事实上：

Q

因为P是影子边缘曲线上的任意一点

设P所对应的蓝色圆面上的入射点为M 则PM⊥β,连接MQ

因为F，M都是切点所以PM=PF PFPMsinPQM所以PQPQ由平面β,γ产生的特点知它们形成的二面角是确定的

而PQM即是其平面角，且为直角三角形PMQ中的锐角PF(0,1).因此根据圆锥曲线的统一定义该命题成立。所以PQ应用所学的数学知识解决了实际问题深刻体现了数学的普遍应用性。