3.1.3 空间向量的数量积运算PPT及课堂实录内容

第3节

平面向量的数量积及其应用

最新考纲

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知

识

梳

理

1.平面向量数量积的有关概念

→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

|b|cos__θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y1. x1x2＋y1y2a·b(3)夹角：cos θ＝|a||b|＝2222. x1＋y1·x2＋y2(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). [常用结论与微点提醒] 222x21＋y1·x2＋y2.

1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) π(1)两个向量的夹角的范围是0，.(

) 2(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(

) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(

) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(

) 解析

(1)两个向量夹角的范围是[0，π].

(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等. 答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(

) A.13＋62

C.30

B.25 D.34 解析

依题意得a2＝2，a·b＝2×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝（3a＋b）2＝9a2＋6a·b＋b2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案

D 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析

由题意得a＋b＝(m－1，3)，

因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7. 答案

7 4.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________. 解析

由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.

答案

－2 5.(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. （3e1－e2）·（e1＋λe2）3－λ解析

cos 60°＝＝

|3e1－e2||e1＋λe2|3＋11＋λ213＝2，解之得λ＝3. 3答案

3

考点一

平面向量的数量积及在平面几何中的应用

【例1】

(1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，→·BG→＝________. 则AF(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝→＝1EC→，BE⊥CD，则DA→·DC→＝________. 2AD，△ABD的面积为1，若DE2解析

(1)依题意，F是△ABC的重心，

→＝2×1(AB→＋AC→)＝1(AB→＋AC→)，

AF3231→4→→＝1(BF→＋BC→)＝13BA＋3BC

BG2214→5→2→5→＝23AC－3AB＝3AC－6AB，



2→5→95→→1→→3AC－6AB＝.

故AF·BG＝3(AB＋AC)·36(2)如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设|AD|＝a(a>0)，则|BC|＝2a，又S△ABD＝1，

2∴|AB|＝a，

222→＝x－a，y－a，∴A0，a，B(0，0)，C(2a，0)，Da，a.设E(x，y)，则DE211→→→EC＝(2a－x，－y)，∵DE＝2EC，∴x－a，y－a＝2(2a－x，－y)＝xya－2，－2，

x4x－a＝a－，x＝3a，44→44→22则即∴E3a，3a，∴BE＝3a，3a，CD＝－a，a，

2y4y－a＝－2，y＝3a，→·CD→＝0，∴4a·(－a)＋4·2＝0，解得a2＝2，∴∵BE⊥CD，∴BE33aa2→·DC→＝(－a，0)·a，－a＝－a2＝－2. DA95答案

(1)

(2)－2 36规律方法

1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.

2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 【训练1】

(1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，→·MN→＝(

) CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则ANA.－7

B.0

C.7

D.7 →＝2DC→，AE→(2)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为________. ＝λAC→，AD→为基底，AN→＝AD→＋3AB→，MN→＝CN→－CM→＝1CD→－1CB→＝－1解析

(1)以AB4434

→1→→→→3→1→1→1→29→21AB＋3AD，AN·MN＝AD＋4AB·－4AB＋3AD＝3AD－16AB＝3(9－9)＝0.

→·AC→＝3×2×cos 60°＝3，AD→＝1AB→＋2AC→，则AD→·AE→＝(2)AB33λ2λ1231→2→→→AB＋AC3·(λAC－AB)＝×3＋×4－×9－×3＝－4⇒λ＝3333311. 3答案

(1)B

(2)11

考点二

平面向量的夹角与垂直

【例2】

(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 2π(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为3，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(

) A.－7

B.－3

C.2

D.3 (3)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________. 解析

(1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.

2π(2)依题意得a·b＝2×1×cos3＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.

(3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，

即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.

又若(2a－3b)∥c，

9则2k－3＝－12，即k＝－2.

9当k＝－2时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，

即2a－3b与c反向.

99综上，k的取值范围为－∞，－2∪－2，3. 99－∞，－答案

(1)2

(2)D

(3)∪－，3

22a·b规律方法

1.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝|a||b|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角

度、垂直问题.

2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】

(1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________. (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 解析

(1)∵|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)，

∴(a＋3b)·(a－b)＝0，即a2＋2a·b－3b2＝0，

11故有a·b＝－2，则cos〈a，b〉＝－4.

(2)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 1答案

(1)－4

(2)－2 考点三

平面向量的模及其应用

【例3】

(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. (2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是________. 足|AP1解析

(1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×2＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝12＝23.

(2)建立平面直角坐标系如图所示，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3).则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－3，y＝2y0，代入圆的方程得3133x0－＋y0－2＝，所以点M的轨迹方程为x－＋42211333→|＝y－2＝，它表示以，为圆心，以为半径的圆，所以|BMmax42222222

3317→|2＝49. ＋3＋2－0＋＝，所以|BMmax422249答案

(1)23

(2)4

规律方法

1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

【训练3】

(1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________. (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰→＋3PB→|的最小值为________. DC上的动点，则|PA解析

(1)由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a＋b＋c|＝1.

(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x(0≤x≤a)，∴→＝(2，－x)，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).PA→＝(1，a－x)，

PB→＋3PB→＝(5，3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，当x＝3a时取等∴PA4→＋3PB→|的最小值为5. 号.∴|PA答案

(1)1

(2)5

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

22

1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(

) A.a⊥b

C.a∥b

B.|a|＝|b| D.|a|>|b| 解析

由|a＋b|＝|a－b|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，则a⊥b. 答案

A 2.(2018·合肥质检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(

) A.2

B.23

C.3

D.25 解析

由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12，∴|a－b|＝23. 答案

B 3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，m)，c＝(2，4)，且(2a－5b)⊥c，则实数m＝(

) 3A.－10

1B.－10

1C.10

3D.10

3. 10解析

因为2a－5b＝2(2，1)－5(1，m)＝(－1，2－5m)，又(2a－5b)⊥c，所以(2a－5b)·c＝0，则(－1，2－5m)·(2，4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得m＝答案

D 4.(2018·西安八校联考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则→在AB→方向上的投影是(

) 向量CD32A.2

32

B.－2

C.35

D.－35 →＝(2，1)，CD→＝(5，5)，AB→·CD→＝(2，1)·解析

依题意得，AB(5，5)＝15，→·CD→AB15→→→|AB|＝5，因此向量CD在AB方向上的投影是＝＝35. →|5|AB答案

C π5.(2018·大连双基测试)若向量a，b的夹角为3，且|a|＝2，|b|＝1，则a与a＋2b的夹角为(

) πA.6

π

B.3

2πC.3

5πD.6

ππ解析

∵向量a，b的夹角为3，且|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝2×1×cos3＝1，|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2

＝22＋4×1＋4×12＝23，

a·（a＋2b）a2＋2a·b22＋2×13∴cos〈a，a＋2b〉＝＝＝＝2，∵〈a，a＋2b〉|a||a＋2b||a||a＋2b|2×23π∈[0，π]，∴〈a，a＋2b〉＝6. 答案

A 二、填空题

6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，则|a＋b|＝________. （2a＋b）·（a－b）解析

∵a＝(2，1)，b＝(3，－1)，∴a＋b＝(5，0)，2a＋b＝(7，1)，a－b＝(－1，2)，∴|a＋b|＝5，(2a＋b)·(a－b)＝－5，∴答案

－1 →＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为7.已知向量OA锐角，则实数m的取值范围是________. →＝OB→－OA→＝(3，1)，

解析

由已知得AB→＝OC→－OA→＝(2－m，1－m).

AC→∥AC→，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝1.

若AB2→→由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m).

→·BC→＝3＋3m＋m>0，可得m>－3.

∵∠ABC为锐角，∴BA41→∥AC→，且AB→与AC→同向.

由题意知，当m＝2时，AB故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是

311－4，2∪2，＋∞. |a＋b|＝－1. （2a＋b）·（a－b）

311答案

－4，2∪2，＋∞

8.(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，→·AP→的最大值为________. 则AO→＝(cos α＋2，sin α)，

解析

设P(cos α，sin α)，∴AP→·AP→＝(2，0)·∴AO(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，

当且仅当cos α＝1时取等号. 答案

6 三、解答题

9.(2018·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝

3(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－5. (1)求sin A的值；

→在BC→方向上的投影. (2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA3解

(1)由m·n＝－5，

3得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－5，

3所以cos A＝－5.因为0

所以sin A＝1－cosA＝23241－－5＝5. ab(2)由正弦定理，得sin A＝sin B，

则sin B＝bsin A2＝＝a2，

4245×5π因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝4. 3由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×－5，

解得c＝1，c＝－7舍去，

22→→→故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×2＝2. →·BC→＝10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA

→→cCB·CA. (1)求角B的大小；

→－BC→|＝6，求△ABC面积的最大值. (2)若|BA解

(1)由题意得(2a－c)cos B＝bcos C. 根据正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，

即2sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，

π2所以cos B＝2，又B∈(0，π)，所以B＝4. →－BC→|＝6，所以|CA→|＝6，

(2)因为|BA即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋2). 3（2＋1）1故△ABC的面积S＝2acsin B≤，

2因此△ABC的面积的最大值为32＋32. 能力提升题组

(建议用时：20分钟) 11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，acc，向量m＝2，2，n＝(cos C，cos A)，且m·n＝bcos B，则B的值是(

) πππ2πA.6

B.3

C.2

D.3

ac解析

∵m·n＝2cos C＋2cos A，且m·n＝bcos B.

ac∴2cos C＋2cos A＝bcos B，

即acos C＋ccos A＝2bcos B.

由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，

则sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B.

π1∵0

B 12.(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________. 解析

由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，

则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).

令y＝|a＋b|＋|a－b|

＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ

＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，

则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].

由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，

(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，

即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25. 答案

4

25 13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，π0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤2). →⊥a，且|AB→|＝5|OA→|，求向量OB→；

(1)若AB→与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求OA→·OC→. (2)若向量AC→＝(n－8，t)，

解

(1)由题设知AB→⊥a，∴8－n＋2t＝0. ∵AB→|＝|AB→|，

又∵5|OA∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，

→＝(24，8)或OB→＝(－8，－8). ∴OB

→(2)由题设知AC＝(ksin θ－8，t)，

→与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，

∵ACtsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ

432＝－2k(sin θ－k)2＋k. 4∵k>4，∴0

432∴当sin θ＝k时，tsin θ取得最大值k. 32由k＝4，得k＝8，

π→此时θ＝6，OC＝(4，8)，

→·OC→＝(8，0)·∴OA(4，8)＝32.