习题1.3第二课时 公开课

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

PPPO2PcAaBbCcCAbaBcCAbaBAaBbcC图1 图2 图3 图4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

A．16 B．20 C．24 D．32

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9

22222解：（1）Vah16，a2，4Raah441624，S24，选C； 22（2）4R3339，S4R9

（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是 。36

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，

SACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，

ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，

AMMN，SB//MN，

ADBHECAMSB，ACSB，SB平面SAC，

SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，

SA平面SBC，SASC，

故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

S(3)题-1M(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，

ACNB(3)题-2正三棱锥SABC外接球的表面积是36

1

（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接1040 D.

33（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

球的表面积为（ D ）A.11 B.7 C.

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC中，BCACAB2ABBCcos1207，

222BC7，ABC的外接球直径为2rBCsinBAC727，

332(2R)2(2r)2SA2(4027240，选D )4，S333（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR），则

ab1222222bc8，abc24，a3，b4，c2，(2R)abc29，S4R29，

ac6（6）(2R)2a2b2c23，R233，R

42P44333VR3，

3382

A

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，PA平面ABC

解题步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P径AD，连接PD，则PD必过球心O；

第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半

AO1BCBOCD径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

abc12r），OO1PA；

sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)PA(2r)2R222图5PA2(2r)2；

R②R2r2OO1

2r2OO1

2 2

2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

PPPPOCAO1BDACOOCCOO1BAO1BABO1图6 图7-1 P图7-2P 图8

PABO2DOCABO2OCAO2BOD图8-1 图8-2 图8-3

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A．3 B．2 C．16

D．以上都不对

322解：选C，(3R)21R2,323RR1R, 423R0, R

1622

,S4R333

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

PPPPOOOABCABO1CABO1CABO1C图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；

第二步：在PAC中，可根据正弦定理abc2R，求出R

sinAsinBsinC

2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）

22

OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2RO1O

3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R

4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)PA(2r)2R222PA2(2r)2；

R②R2r2OO12r2OO1

2例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 。

（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R7，S4R49，

2V（2）方法一：找球心的位置，易知r1，h1，hr，故球心在正方形的中心ABCD处，R1，4

34

3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，2R2，R1，V

4

（3）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A．

B.4

C. 4

D.

333的圆上，R1

2解：选D，圆锥A,B,C在以r（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2，则此棱锥的体积为（

）A A．3222B．

C．D．

66 3 2解：OO1R2r21(11326226326，h，VSh

)33343633类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

C1A1O2B1OCAO1BAO1OCBA1O2C1B1C1A1B1OCABO1O2图10-1

图10-2 图10-3

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；

第二步：算出小圆O1的半径AO1r，OO111AA1h（AA；

1h也是圆柱的高）222第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R()rRh222hr2()2，解出R

2例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9，底面周长为3，则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a，

2且该六棱柱的体积为底面积为S63123333931()h，h3，R2()2()21，

，V柱Sh42888224

35 R1，球的体积为V

BAC120，则此（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,球的表面积等于 。

解：BC23，2r234，r2，R5，S20

sin120E（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为 。16AO1MBOO2CD

解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r13，OO11，

R132；法二：O1M31331324，R2，S16

，r2O2D，R4422（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A的表面积为 。3,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球160

3127472728，BC27，2r，r，

23332解析：BC16362462R2r2(AA122840160)4

，S2333

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

A'OH2ABEDH1C图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；

第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；

第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：OH1CH1OC

例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为

.

222

6

解析：2r12r22421，，，

rrOH122sin6033314515，R；

3333PR2O2H2r12O2AHBOO1C法二：O2H11，O1H，AH1，

33515，R

33R2AO2AH2O1H2O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，

a2b2x22x2y2z2222222，

bcy(2R)abc2c2a2z2补充：VABCDabcAxyzxBabzDycC11abc4abc

63222x2y2z2第三步：根据墙角模型，2Rabc，

2x2y2z2R，R82图12x2y2z2，求出R，

8例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一

个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点

在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

33333A． B． C． D． 43412P(1)题PO2C解：（1）截面为PCO1，面积是2；

（2）高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2，

设底面边长为a，则2RABOO1Ba32332Sa，，，

a3sin6044(1)题解答图三棱锥的体积为V

13 Sh347

（3）在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的表面积为 。29

222解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则ab9，

b2c24，c2a2162(a2b2c2)941629，2(a2b2c2)941629，

2929292

，4R，S222（4）如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的a2b2c2表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2b2c2)253649110，a2b2c255，4R255，S55

【55；对称几何体；放到长方体中】

（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R3，

R34333，V，

2382

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

PBCOA图13

题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接

OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

125125125125 B． C． D．

129634341251255解：（1）2RAC5，R，VR，选C

23386（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCDA．的外接球的表面积为

．

解析：（2）BD的中点是球心O，2RBD13，S4R13；

8 2

类型八、锥体的内切球问题

1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。

第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；

P1第二步：求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；

3OEPO第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r

DHPD

2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

EADBOCH图14P1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；

2OGPO第三步：由POG相似于PFH，建立等式：，解出

HFPF第二步：求FH

3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

BGOAEHC图15FD第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC

11111VPABCSABCrSPABrSPACrSPBCr(SABCSPABSPACSPBC)r

33333第三步：解出r3VPABC

SOABCSOPABSOPACSOPBC习题：

1．若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（ ）

A.3

B.6

C.36

D.9

解：【A】(2R)2416166，R3

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

2．

三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三棱锥的外接球体积等于 . 解析：2r32

3432322R28R42，，，，外接球体积

(2R)4121633sin60【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 . 解析：ABC外接圆的半径为

，三棱锥SABC的直径为2R242R，外接球半径，

sin6033

9

4348323，

R33332734．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 . 242R解析：PAC的外接圆是大圆，2R，，

sin60335．

三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC3，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 . 7162PA2PC2AC2994742，sin2P1()2解析：cosP，sinP，

9812PAPC23399922992，R

2R84422296．

三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC或R2(R3)21，R2，外接球体积V外接球的半径为 . 解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R1

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