1.1.2 简单组合体的结构特征优秀教案案例

简单多面体的外接球问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心是体对角线的中点．

例1、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm,求球的体积.

练：

福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正1、(2013·视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．

2、长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．

3、半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为(

) A.5π∶6

B.6π∶2

C．π∶2

D．5π∶12 点评：长方体的外接球直径：

长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2＋b2＋c2＝2R. 结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

例2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则

该球的表面积为(

) 72112A．πa

B.3πa

C.3πa

D．5πa2 2练：

1、直三棱柱ABC-A1B1C1顶点都在球面上，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2则球面面积为________．

2、直三棱柱ABC-A1B1C1顶点都在球面上，若∠BAC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2则球面面积为________ 3、直三棱柱ABC-A1B1C1顶点都在球面上，若AB＝AC＝5，BC＝2，

AA1＝1则球面面积为________

abc点评：用正弦定理＝＝＝2R求出外接圆的半径. sinAsinBsinC结论3：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

例3、如图所示，球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．

练：

正四面体内切球外接球半径之比为

点评：正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为2a的正四面体A1-BDC1，其体积为1正方体体积的. 3

结论4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

例4、将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(

)

A．25π

B．50π

C．5π

D．10π

练：

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

点评：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

结论5：三棱锥的外接球的球心在其球心与三角形外心的连线上（连线垂直三角形所在的平面），具体位置可通过计算找到．

例5、在四面体D-ABC中，DA垂直平面ABC，DA=AB=AC=BC=2，则该四面体外接球的表面积是

. 练：

1、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(

) 2322A.6

B.6

C.3

D.2

2、已知四棱锥E-ABCD，四边形ABCD是边长为10的正方形，且四棱锥E-ABCD的顶点E在底面ABCD内的射影为AD的中点H，四棱锥E-ABCD外接球的体积为40003π，则四棱锥E-ABCD的高h是

点评：牢牢抓住球心与三角形外心的连线垂直三角形所在的平面.