探究与发现 为什么是双曲线的渐近线教案设计（一等奖）

双曲线的第二定义

讲课人：

三水市华侨中学

[教学目标] 知识目标：使学生理解掌握双曲线的第二种定义方法，并能灵活运用定义解题。

能力目标：培养学生分析问题，解决问题的能力。

[教学重点.难点] （1）双曲线第二定义的正确理解及双曲线标准方程的导出。

（2）灵活运用定义解题。

[教学方法]

讲练结合

[教具]

投影器一台

[教学过程] 一．复习

（提问两位临界生）

（1）双曲线的定义及标准方程；

（2）双曲线的准线及离心率；

（3）

椭圆的第二定义及其在解题中的作用；

（4）

求曲线方程的步骤。

二

新课的引入：

由前面所学的椭圆的第二定义知，若平面上动点到一定点与它到一定直线的距离之比是一个小于1的正常数，那么动点的轨迹是椭圆，若>1会是什么曲线呢？这便是我们今天要研究的问题。

三

新课的教学：

1．

例1（课本P90，例4）点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到a2c定直线L：x的距离比是常数

(c>a>0)，求点M的轨迹。

ac

（先让学生思考，再请一位同学讲一下解题思路）

caca教师分析：（1）要求点M 的轨迹，可利用求曲线方程的几个步骤求。

（2）关键要找关系式。（请一位同学回答动点M满足什么关系式？）

解：如图所示，设d是点M到直线L 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合

MFcPM

, da由此得

1

(xc)2y2a2xcc. a将上式化简，得：

(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)

设c2a2b2，就可以化成

x2y221

2ab这就是双曲线的标准方程，点M的轨迹是以原点为中心，焦点在X轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为b的双曲线。

教师讲解双曲线的第二定义，通过与椭圆的定义比较加深理解

小结：

（1）双曲线的第二定义反映了哪些量的位置关系？

（提问学生）

教师补充:双曲线的第二定义实质反映了二点（动点M及定点F ）和一线（双曲线的准线）的关系，以后碰到这类题型时，应优先考虑用双曲线的第二定义求。

（2）式子的变形：MFdeMFedeMFd

（3）双曲线焦点,准线与双曲线方程的关系：

对应的双曲线焦点

右焦点F（c，0）

a2左焦点F（-c，0）

左准线

x

ca2上焦点F（0，c）

上准线

y

ca2下焦点F（0，-c）

下准线

y

c准线

标准方程

a2右准线

x

c

x2y21

a2b2

y2x221

2ab（上表内容由学生完成再用投影打出）

应用：

2．

例2，求与定点F（5，0）及定直线L：x动点的轨迹方程。

2 16的距离之比是5：4的5

解：根据双曲线的第二定义，所求轨迹为焦点在X轴上的双曲线。

a216由

c=5,

c5得

a216,c225

而

b2c2a225169

x2y2故

P点的轨迹方程为：1

1693 研究题：（用投影打出，先由学生思考，讨论）

判断例所给解法的正误

设动点P（x，y）到定点A（5，0）的距离与它到定直线x=3的距离之比为3，求其轨迹方程。

解：根据双曲线的第二定义，所求轨迹为焦点在X轴上的双曲线, c5且

a23

c解得

a215,b2c2a2251510

x2y2故P点轨迹方程是1

1510分析：根据双曲线的第二定义，P点轨迹是双曲线，这一点是肯定的，但由c于ea的，

正确的答案是：

由

553，可以判断求得的双曲线方程不是“标准”(x5)2y23

x3得

(x5)2y23(x3)2

22即2xy8x20

由上述例子中我们亦可将课本中双曲线的第二定义作如下推广：

如果平面上动点到一定点与到一定直线距离之比是一个大于1的常数e，那么动点的轨迹是双曲线。

（教师讲解定义）

4 堂上练习：

课本

P93

(15)

(16)

(17) 5小结：

（1） 双曲线的第二定义及其应用

（2） 当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式，

6 布置作业：（用投影打出）

（1）

求双曲线3x2y21的焦点坐标，顶点坐标，渐近线方程及其准

3

线方程。

（2）

求与定点A（5，0）及定直线L：x=16的距离比是5:3的点的轨5迹方程。

（3） F1，F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2902，求△F1PF2的面积。

4