1.2.1 充要条件第二课时教案

§1.2.2充分条件与必要条件（二） ●教学目标

知识与技能：理解充分条件、必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题之间的关系

知识要点：

1.pq或qp，则p是q的充分条件；

qp或pq，则p是q的必要条件. pq或qp，则p是q的充要条件；

2.设

若AB，则p是q的充分条件，

q是p的必要条件；

若AB，则p是q的充要条件

若AB,BA，则p是q的非充分非必要条件

过程与方法：让学生从已有的命题知识出发,共同探究充分条件、必要条件及充要条件的意义，引导学生通过练习，掌握和理解充分条件、必要条件及充要条件的意义。

情感态度与价值观：培养学生的问题推理处理能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过充分条件、必要条件及充要条件、四种命题知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

充分条件与必要条件的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

区别充分条件与必要条件的不同点。

●典型例题

例1 下列“若p，则q”形式的命题中，

p是q的什么条件？

4x2a（1）p：函数f(x)lg(101)ax是偶函数;q：g(x)是奇函数. 2xx（2）已知0ab，p：xab; q：xba.

解：（1）p是q的充要条件 f(x)lg(101)ax是偶函数f(x)f(x)

x1lg(10x1)axlg(10x1)ax(2a1)x0恒成立，所以a

24x2a4x2a4x2ag(x)0(2a1)(2x2x)0恒成立

是奇函数xxx222所以a1，故p是q的充要条件

2（2）p：xababxba

q：

xbaabxababxba

p是q的充分非必要条件，p是q的必要非充分条件

x20

，q：x121，试判断p是q的什么条件

变式1 若p：2xx2x20(x2)(x1)(x2)02x1或x2

解：（1）p：

2xx2q：

x12111x231x1或3x5

所以qp，p是q的必要非充分条件，p是q的充分非必要条件

例2 已知p：1x12，q：x2(3m1)x2m22m0，若p是q的充分3非必要条件，求m的取值范围

解：p：1x122x10

3q：x2(3m1)x2m22m0(x2m)x(m1)0

若m1，q：x1，qp，所以pq；

若m1，q：m1x2m，由pq，即qp

只需m12，所以1m5

1m5（两边不同时去等号）2m10若m1，q：2mxm1，由pq，即qp

2m2只需，所以1m1

1m9（两边不同时去等号）m110综上所述，m的取值范围为1,5

2 变式2 已知Axx1x38,Bxx(a8)x8a0，求a的一个取值范围，使它成为ABx5x8的必要不充分条件.

解：

Axx1x38xx3或x5

Bxx2(a8)x8a0x(x8)(xa)0

由ABx5x8，知Bxax8且3a5

所以，a3即为ABx5x8的必要不充分条件. 2222 例3 设a,b,c是ABC的三边，求证：方程x2axb0与x2cxb0有

公共根的充要条件是A90. 证明：充分性：由A90a2b2c2

方程x22axb20化为x22axa2c20，所以该方程的根为

x1ca，x2ca

方程x22cxb20化为x22cxa2c20，所以该方程的根为

x3ac，x4ca

显然，x3x4，所以，练个方程有公共根

22m2amb0必要性：设m为两个方程的公共根，则2 2m2cmb02两式相加：2m2(ac)m0，又m0

222所以

m(ac)，将其代入任一方程，即得：abcA90

变式3 已知数列an的前n项和Snpnq(p0,q1)，

求证：数列an是等比数列的充分条件是q1

证明：

n1时，a1S1pq充分性：当q1时，a1p1所以数列an是等比数列

必要性：若数列an是等比数列，由n2时，由

anSnSn1pn1(p1)

得：,n2时，anSnSn1pn1(p1)

，ana1pn1an1p0，

anap(p1)an1pq1

p，则2a1pqan四、备选例题

例1 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(

)．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C

解：因为{an}是等比数列，设公比为q，则a1a2a3a1a1qa1qa1q2

a10时，q1，{an}是递增数列；a10时，0q1，{an}是递增数列

反之，若{an}是递增数列，a1a2a3显然成立

故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件

例2 (2011·陕西)设n∈N，一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案：n3或4

解：由164n0,nZn1,2,3,4

分别代入方程检验得：n3或4

*2五、小结与反思

1.求充分非必要条件时，可先求出充要条件的相应集合，再求其一个子集；求必要非充分条件时，可先求出充要条件的相应集合，再求其一个真包含充要条件相应集合的集合. 2.证明充要条件必须分别证明充分性和必要性