3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学视频（文字实录）

3.1.1倾斜角和斜率（教学设计）

教学目标: 1.知识与技能

1）理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2）掌握斜率公式的推导过程，过两点的直线的斜率公式．

2.过程与方法

能对斜率和倾斜角的关系进行讨论，经历斜率公式的严格推导过程. 3.情感、态度与价值观

1）让学生初步感受用代数的方法表示几何概念，感受代数表达的抽象与简练．

2）培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学重点与难点

重点: 理解直线的倾斜角、斜率的概念和掌握直线的倾斜率公式. 难点：理解直线斜率公式的推导过程. 教学过程

（一）创设情景，导入新课

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? 思考：(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? （二）师生互动，新课讲解

1.直线的倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α. 2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

1

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. （3）当由090,k的值由0

00 当由90180,k的值由0

00由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 记住公式：tan（180-）= -tan

0课堂练习1：（课本P86练习NO：1）

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3. 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导. 公式推导（课本P84））

斜率公式: ky2y1 x2x1对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

例1（课本P85例1）例1 如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

解：直线AB的斜率kAB=121=; 437

y

直线BC的斜率kBC=1121==-; 240(4)

o 12直线CA的斜率kCA==1 03由kAB＞0及kCA＞0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC＜0 知

直线BC的倾斜角为钝角。

小结：

已知两点坐标, 而且x1x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;

x 2

而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 变式训练1：（课本P86练习NO：2）

例2 （课本P85例2）在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1, l2, l3,及l4

分析：要画出过原点的直线l1，只须再找出位于l1上方的某一点A1来， A1

的坐标可以由O A1

的斜率确定。

解：取l1上某一点为A1的坐标是（x1, y1）,根据斜率公式有

1=y10x, 10即x1=y1 设x1=1, 则y1=1 ，于是 A1的坐标是(1, 1)。过原点及 A1(1, 1)的直线即为 l1，

同理，由-1=y20x, 得y2=-x2

设x2=1,则y2=-1。于是得A2的坐标是（1， －1）

。过原点及A2（1，101）的直线为l2。

同理可知， l3是过原点及A3（1， 2）的直线， l4是过原点及A4（1，

－3）的直线。

变式训练2：（课本P86练习NO：3；4）

例3：求证：三点A（1，2），B（2，4），C（3，6）在同一条直线上。

变式训练3：已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

∵A、B、C三点在一条直线上，

∴kAB=kAC．

(三)课堂小结，巩固反思

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

－3

(2) 直线的斜率公式. (四)布置作业： A组：

1、（课本P89习题3.1A组 NO：1）

2、（课本P89习题3.1A组 NO：2）

3、（课本P89习题3.1A组 NO：3）

4、（课本P89习题3.1A组 NO：4）

5、（课本P89习题3.1A组 NO：5）

6、在坐标平面上，画出下列方程的直线：

(1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0

B组：

1、（课本P89习题3.1 B组 NO：5）

2、(tb1906805)过点M(0,-3)的直线L与以点A(3,0)、B(-4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线L斜率k的取值范围。

（答：(,1][1,)）

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