3.1直线的倾斜角与斜率（通用）国家优质课一等奖

3.1.1

倾斜角与斜率

学习目标

1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;

2.掌握过两点的直线斜率的计算公式;

3.能用公式和概念解决问题.

合作学习

一、设计问题、创设情境

问题1:在平面直角坐标系中,点这一几何图形可以用数表示吗?

坐标的含义是什么呢?

答：可以,用坐标表示;

横、纵坐标的绝对值,分别表示这一点到y轴、x轴的距离,即坐标轴为参照对象.

问题2:请你在坐标系中表示出点P(2,0)和点Q(3,1).过点P、Q可以作几条直线,为什么?过一点P可以作几条直线呢?

答：一条;两点确定一条直线;无数条.

问题3:现在给出点M(4,2)和点N(3,3),请大家画出过点P,M的直线,和过点P,N的直线.

请大家观察,直线PQ、直线PM以及直线PN有什么联系?有什么区别?并请大家探究这种区别可以用什么量来描述? 答：都过点P;直线PQ与直线PN是过同一点的两条直线.这两条直线的区别可以从倾斜程度不同或者“变化率”不同两个方面来解释.

二、学生探索、尝试解决

问题4:倾斜程度是相对于哪个对象的?请大家继续探究倾斜程度可以用什么量来刻画?请大家继续探究如何定义“角”或者“变化率”? 答：x轴;可以用“角”或者“变化率”来刻画;

问题5:过点P与x轴形成45°角的直线有几条?进一步问:如何区分这两条直线呢?选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢? 答：两条;需要从方向上来定义;倾斜角。

倾斜角：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴的正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角.

课堂练习1:在下列各图中分别标出各直线的倾斜角.

答：

问题6:由以上对倾斜角的定义,你能确定倾斜角α的取值范围吗? 答：倾斜角的范围是α∈[0°,180°).规定：当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为00.

问题7:对于直线相对于x轴的倾斜程度,除去用倾斜角这一几何图形描述之外,我们知道还能用纵坐标相对于横坐标变化的快慢来描述,他们之间有什么关系呢,我们应该将它们怎样联系起来呢?

答：构造关于倾斜角的直角三角形.

直线斜率：一条直线倾斜角α的正切叫做直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k=tanα.

课堂练习2:分别求出α=45°,α=135°,α=90°时,对应的直线的斜率;当α在[0°,180°)内变化时,斜率k如何变化? 答:因为tan

45°=1,tan

135°=-tan

45°=-1,α=90°时,斜率不存在,所以α=45°,α=135°,α=90°时，对应的斜率分别为1，-1，不存在。当α在[0°,180°)内变化时,斜率先增大，后减小。

四、用规律、解决问题

问题8:在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1≠ x2,能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率k? 解:设直线P1

P2的倾斜角为α(α≠90°),当直线P1

P2方向向上时,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线交于点Q,则点Q的坐标为(x2,y1) (1)当α为锐角时,α=∠QP1P2,x1

α=tan

∠QP1P2=

.

-

-

(2)当α为钝角时,α=180°-θ(设∠QP1P2=θ),x1>x2,y1

α=tan

(180°-θ)=-tan

θ.

在Rt△P1P2Q中,tan

θ=

-

=-

-

.

-

-

∴tan

α=

-

(可让学生分组推导).

-

同理,当直线P2P1方向向上时,无论α为锐角或钝角,都有tan

α=

-

,即k=

-

-

-

思考: 1.各种一般情形得出的结论一致吗?与P1,P2这两点坐标的顺序有关系吗?

答：一致,无关.

2.当直线垂直于x轴或y轴时,上述结论适用吗? 答：垂直于x轴时,分母为零,结论不适用;垂直于y轴时,适用.

3.斜率公式使用时应注意什么问题? 答：注意公式适用的前提是斜率存在.

五、变练演练、深化提高

例1：

已知A(3,2),B(-4,1).

(1)求直线AB的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角; (2)若点C(x,3)在直线AB上,求实数x的值.

解:(1)直线AB的斜率k=

-

-

-

,

因为k>0,所以其倾斜角是锐角; (2)因为点C(x,3)在直线AB上, 所以

变式训练:已知点A(1,2),B(3,5),C(x,6).

(1)若直线AC的倾斜角α=45°,求实数x的值; (2)若A、B、C三点共线,求实数x的值.

解:(1)因为tan

α=

-

-

-

-

,解得x=10.

=1,故x=4;

-

-

(2)因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即

-

-

,解得x=

.

例2：已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点. （1）求直线l斜率k的取值范围。

（2）求直线l倾斜角的范围。

六、信息交流,教学相长

问题9:为什么要学习直线的斜率?这体现了什么思想? 答：为了用代数方法研究直线问题;体现了数形结合思想.