1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）国家优质课一等奖

1.3.2

空间几何体的体积

教学目标：

1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；

2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；

3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．

教材分析及教材内容的定位：

通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．

教学重点：

柱、锥、台的体积计算公式及其应用．

教学难点：

运用公式解决有关体积计算问题．

教学方法：

通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．

教学过程：

一、问题情境

类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．

一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．

长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为

V长方体＝abc或V长方体＝Sh （这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）

二、学生活动

阅读课本P65“祖暅原理”．

思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？

三、建构数学

1．柱体的体积．

棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．

V2．锥体的体积．

类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．

1V锥体sh

3柱体= sh 3．台体的体积．

上下底面积分别是S’，S，高是h，则

1V台体h(SSS'S')

3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？

4．球的体积．

一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．

1124V球R2RR2RR3，所以V球R3．

2333四、数学运用

例1

有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm3）六角螺帽共重6kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？

分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．

解：V3101226103.14()2102956(mm3)2.956(cm3)，

42所以螺帽的个数为

61000(7.82.956)260（个）

答：这堆螺帽大约有260个．

例2

圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1,h1，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，求h2．

分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．

解：V水VSABVSCD2h83()3

h271h31919193331933倒置后：V水:V锥h2:hh2hh．

V锥2727327例3

用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大?

练习：

1．直三棱柱ABC-A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A－A′BD的体积是多少？

2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的

倍；

3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容

1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；

2．球的表面积和体积公式．