复习参考题教案（名师）

人教A版高中数学 高三一轮复习 立足基础，提升时效

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圆锥曲线中的三角形面积问题

执教者：晋江市毓英中学

曾庆国 授课地点：新校区录播室

一、教学内容分析

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。

本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．

二、预测高考

会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。

三、教学目标

1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。

2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。

四、教学重难点

1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。

2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。

五、教学策略选择

自主学习、小组讨论法、师生互动

六、教学过程

教学流程

教师活动

学生活动

设计意图

环节一：

一．解法回顾

前几节课我们复习了直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线

与圆锥曲线相交的弦长问题。这节课我们一起来探究圆锥曲线中

的三角形面积问题（板书课题）。

下面请一位同学来谈谈他平时是怎样解答<<解析几何>>这类

问题的。

师：教师针对学生的回答给予评价。

通过对解

师：对于<<解析几何>>这类问题的解答，归纳起来，有以下几

析几何解

个步骤：

题步骤的

1.分析几何对象的几何特征。理解题意，并画出图像。

回顾。让学

2.进行代数化。包括几何元素的代数化、位置关系代数化、问题

生明确解

目标代数化。

题步骤，做

3.进行代数运算。包括联立方程组、消参、运用函数性质等。

到有的放

4.得出几何结论。

矢！

师:接下来我们一起将此步骤实施到具体的题目中。一起看看

这道题。

二．典题导入

22xy2环节二：

已知椭圆C:221(ab0)的离心率为

，短轴长为2。

ab2

P(0,2)lAB过点的直线与椭圆C交于、两点，

1

（Ⅰ）当直线l的斜率为2时，求AOB的面积。

请同学们根据刚才讲的四个步骤，在导学案上完成解答。

请XX同学上台展示作业，并介绍解题过程。

师小结：看来用上这四个步骤可以很好的帮我们解决问题。

解：（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。直线l与椭圆相交相交于A、B。

第二步，进行代数化。

元素代数化：由已知得ca22eca22,2b2.解得b1.可得2aba222a1a2212,即a=2.所以椭圆2C的方程为x2y21.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为。

，消去y得关于x的方程：yy2kxx,A(x1,y1),B(x2,y2)22,位置关系代数化：由y2x22x2y129x16x60.由直线l2与椭圆相交于A、B两点。

12|AB|d

16k2问题目标代数化：S242AOB12k222k22312k第三步，代数运算。

由韦达定理得

16x1x29xx61291092。|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2)4x1x22原点1O到直2线l的2k22距离d255。SAOB22161k024.

2|AB|d92k212312k（Ⅱ）当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

师：接下来我们一起来看第二问。请同学们根据刚才讲的四个步

学生通过对高考题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。

通过学生自主读题，分析问题，解决问题。

放手让学生去做，去表达自己的观点，教师在一旁赞扬、欣赏、点评，和谐课堂。

2

骤，在导学案上完成第二问解答。

同桌可以互相讨论讨论。

看来都有结果了，我们一起来看看。（教师板书）

（Ⅱ）解法一：第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并

画出图像。本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。直

教师引导线l与椭圆相交相交于A、B。

学生及时第二步，进行代数化。

总结，以帮助学生形c2元素代数化：由已知得e,2b2.解得成完整的a2认知结构。

2222caba112

,即a=2.所以椭圆C的方程为b1.可得222aaa2x22y21.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为。

，消去y得关于x的方程：ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)位置关系代数化：由ykx22x2y12(12k)x8kx60222。由直线l与椭圆相交于A、B两点，2064k24(12k)0解得k21216k322。

242

由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模式，提高模式识别能力和解题效率。

问题目标代数化：SAOB|AB|d

12k222k22312k第三步，代数运算。

由韦达定理得

8kx1x2212k6xx12212k|AB|1k222|x1x2|1k2(x1x2)4x1x22

d21k21k12k16k224。原点O到直线l的距离。SAOB12|AB|d16k224212k222k22312k.

3

m2k23(m0)，

2k2m23S2m22m42m24m22

当且仅当m4m即m2时，Smax

22此时k142.所以，所求直线方程为142y40师：这道题我们还可以这样解。具体过程请看屏幕。

解法二：

第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。本问题中，直线l与椭圆相交相交于A、B。

第二步，进行代数化。

元素代数化：由已知得ca22eca22,2b2.解得b1.可得2aba222a1a2212,即a=2.所以椭圆2C的方程为x2y21.由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为2kykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线l与x轴的交点D(,0). 位置关系代数化：由ykx22x2y12，消去y得关于x的方程：(12k)x8kx60222。由直线l与椭圆相交于A、B两点，2064k24(12k)0解得k232。

问题目标代数化：

方法1：SAOB122|OD||y1y2|2212|2k||kx12kx22|

=|x1x2|16k24212k222k312k. 2||x2||x1|||x2x1|方法2：

SAOBSPOBSPOA12= 4

222k223。

12k第三步，代数运算。

m2k23(m0)，

2k2m23S2m22m42m24m22

当且仅当m4m即m2时，Smax

22此时k142.所以，所求直线方程为142y40三．由题悟法

通过这道题我们可以发现，圆锥曲线中三角形面积表示的方法有：

1.

S1212|AB|d（弦长公式求|AB|，点到直线距离求d）

2.利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），常化为S|公共底边长||x1x2|或S12|公共底边长||y1y2|

“联立方程+韦达定理+”是前提，最值问题常化为函数、不等式最值等。

四．以题试法

师：有了这两种方法，可以很好地帮助我们解决三角形面积问题。再来看看这道题

如图，已知直线l： y＝2x－2与抛物线C： x2＝－2y.交于A、B两点，O为坐标原点，若抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

请同学们根据解题四个步骤，还有三角形面积的两种解决方法，在导学案上完成解答。

同学们思考一下，这道题更适合用哪一种方法来解答。

是的，第一种方法更适合用于解决这道问题。

（投影学生优秀作业后）师生一起来完成解答。教师板书。

解：方法一

第一步，几何特征分析，理解题意。

5

直线与抛物线相交于A、B两点，抛物线上动点P从A到B运动。

第二步，进行代数化。

元素代数化：设ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)12， P(t，－2t)(－2－22

，得x2＋4x－4＝0 第三步，代数运算。

∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·－42－4·－4＝410.∵|AB|为定值。∴当点P到直线l的距离d最大时，△ABP1|2t＋22－4|的面积最大．而d＝2，又－2－22

方法二

第一步，几何特征分析，理解题意。

12|2t＋2t－2|

6

直线与抛物线相交于A、B两点，抛物线上动点P从A到B运动。

第二步，进行代数化。

元素代数化：设ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)，P(x0，y0)，依题意，知当抛物线在点P处的切线与l平行时，△ABP的面积最大．∵y′＝－x，∴x0＝－2，1y0＝－2x20＝－2，P(－2，－2)．

y＝2x－2位置代数化：由2，得x2＋4x－4＝0。

x＝－2y问题目标代数化：S12|AB|d

第三步，代数运算。

此时点P到直线l的距离为|2·－2－－2－2|4＝＝22＋－125环节三：

环节四：

45.∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·－42－4－4545410×5＝410，故△ABP面积的最大值为＝82. 2五．回顾梳理

1.选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。

2.能利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。

师：今天我们一起探究了圆锥曲线中三角形面积的问题。总结了两种方法，我们要合理选择才能简化计算，更好地帮助我们解决这类型问题。

六．课后作业

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

引导学生对所学的知识进行小结，利于学生加强理解记忆，提高解题技能。

7

x21.椭圆C:A、B4y231，过点M(3,0)的直线l交椭圆C于两点，求AOB面积S的最大值。

xmy323，联立x2y134解析：设直线l的方程为xmy得(3m24)y623my30.63my1y223m43yy1223m42

SVOAB12|OM||y1y2|6123433m123m463m13m422

仅当=3m2133m213，当且3m1233m12,即m=223时，取等号。故AOB面积的最大值为3.

2.已知椭圆G为(2:xa22yb221(ab0)的离心率为63，右焦点2,0)。斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)。

（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求VPAB的面积。

解析：（Ⅰ）由已知得c22,ca632.解得a23.又b2a2c24.所以椭圆G的方程为x212y41.（Ⅱ）设直线l的方程为yxm.由yxm22yx1412得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1则x0x1x223m4,y0x0mx2),AB中点为E(x0,y0)，m4因为AB是等腰△PAB的底8

2m41.解得3m4边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k3m=2。此时方程①为4x2所以|AB|=3距离d环节五：

12x0.解得x13,x20.所以y11,y22.y202.此时，点P（—3，2）到直线AB：x322,的|322|2所以△PAB的面积S=12|AB|d92.

七．板书设计

圆锥曲线中的三角形面积问题

方法1 方法2 例1 例2 1.几何特征 作图 1.几何特征 作图

2.代数化

2.代数化

元素

元素

位置关系

位置关系

问题目标

问题目标

3.代数运算

3.代数运算

4.几何结论

4.几何结论

八．教学反思

高三圆锥曲线复习课是尤为重要的，如何在一堂课中既落实教学目标又真正使学生学有所获，值得每一位教师思考。每一节高三复习课我们都应该努力追求出奇出彩，努力追求高效精品，下面就自己执教的《圆锥曲线中的三角形面积问题》进行教学反思。

本课为了探究出圆锥曲线中的三角形面积问题，在教学时，设计了两道例题。为了提高学生解题能力，这两道例题都让学生采用解析几何问题的四个步骤进行解答。课堂上，学生入题很快，大大提高了课堂效率，从而降低了解析几何的难度。根据学生的学情，将例一设置了两问，层层递进，从特殊到一般来突破难点。例一第二问，让学生合作交流解法，因为学生很难在短时间内独立解答，这样使得学生在合作中提高了学习的效率。例一这题的解答，可以让学生得到了三角形面积的两种求法。体现了题小容量大的特点。就本节课而言，圆锥曲线中三角形面积问题是数学高考中的考点，等价转化问题更是近年来的热门考题。因此，本节课的例二，一方面可以让学生进行三角形面积求法的再次实践机会，同时也是让转化化归思想在解析几何问题中得到不断融合，相得益彰。本节课比较遗憾的是在讲解例2时未能让学生充分展示。

环节六：

9