3.4 生活中的优化问题举例板书设计及意图

周次

3 上课时间

2 月 22 课型

日

新授课

高二授课人

罗维凤

班级

（14）

课题

3.4生活中的优化问题举例

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量教学y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实目标

际问题确定函数yf(x)的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地作答. 教学求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值重点

应予舍去

教学在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x难点

的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值

课前多媒体课件

准备

一、【创设情境】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利

用导数，解决一些生活中的优化问题．

二、【新课讲授】

【例题1】

海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向

2张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何

设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

2x512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2

1

当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，

宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【思考1】在课本例1中，“x16是函数Sx的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

【说明】若函数

f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，

f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 方法二：由课本例1可得，S(x)2x512512822x8232872。

xx当且仅当2x512128,即x16(x0)时S取最小值此时宽为8x16，

【思考2】变式：当上面的题目加多一个限制。即版心的高度不能大于8dm时，如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

注意：

（1）基本不等式法：

“一正、二定、三相等（特别注意）、四最值”；

（2）导数法（通法）：

一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。

三、【课堂练习】

（1）在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

_

xx x _

60_

x_

602

(2)某公司生产一种产品，固定成本20000元，每生产一单元的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量

能力提升：

经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x3x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390,则当总利润最大时，900每年生产的产品单位数是（）

A.150

B.300

C.250

D.200133yxx8(0x120).12800080

若已知甲、乙两地相距100千米，求当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

四、【课堂小结】

用导数求解优化问题的基本步骤：

（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化

为数学问题，列出适当的函数关系式yfx，并确定函数的定义区间；

（2）求f'x，解方程f'x0，得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

五、【课后作业】

风向标相应的习题

六、【板书设计】

3 关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．