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章末复习提升课

直线的平行与垂直问题

1．两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1

⊥l2⇔k1·k2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合．

2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

[解]

(1)由已知可得l2的斜率必存在，

所以k2＝1－a.

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

因为l1⊥l2，所以直线l1的斜率k1必不存在，

即b＝0.

又因为l1过(－3，－1)，所以－3a＋4＝0，

4即a＝(矛盾)．

3所以此种情况不存在，即k2≠0.

若k2≠0，即k1、k2都存在，

a因为k1＝，k2＝1－a，l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，

ba即(1－a)＝－1.①

b又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在．

a所以k1＝k2，即＝1－a.③

b又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，

所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数，

4即＝－(－b)．④

ba＝2，a＝3，由③④联立解得或

b＝－2b＝2.2所以a、b的值分别为2、－2或、2. 3

直线与坐标轴围成的直角三角形

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直线与坐标轴围成的直角三角形常见的相关知识

(1)直角三角形的面积的最值及取最值时直线的方程．

(2)直线在坐标轴上截得的距离和的最值及取最值时直线的方程．

(3)直角三角形斜边的最小值及取最小值时直线的方程．

解决这些问题的基本步骤

①根据问题的特点设出直线方程．

②将所求的目标用函数形式表示．

③根据问题的指向求解目标函数．

④问题回归作答．

如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点．

(1)求△AOB面积最小时l的方程；

(2)求|OA|＋|OB|取最小值时l的方程．

[解]

(1)设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，

xy则直线l的方程为＋＝1，

ab322a因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，

aba－31a2所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0.(*)

2a－32因为此方程有解，所以Δ＝S△AOB－12S△AOB≥0，

又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12.

将S△AOB＝12代入(*)式，

得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4.

xy此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

642a(2)由(1)得|OA|＋|OB|＝a＋b＝a＋

a－32（a－3）＋6＝a＋

a－36＝a＋＋2

a－36＝a－3＋＋5

a－3＝a－3－当a－3＝62＋5＋26.

a－36，即a＝3＋6，b＝2＋6时，(|OA|＋|OB|)min＝5＋26.此时直线方a－3xy程为＋＝1. 3＋62＋6

距离与方程

1．距离问题是几何学研究的一个重要方面．在平面几何中可以借助于图形的几何性质求解，在学习了直线的方程后，便可以用坐标法求解，在具体解题过程中往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，这体现了代数与几何的紧密联系，同时也是数形结合这一重要数学思想的一个具体体现．

2．点到直线的距离、两点间的距离公式是高考命题的热点，其中公式的运用往往成为这类题目的难点，应注意加强这方面的训练．

直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．

[解]

(1)当所求直线经过坐标原点时，

设其方程为y＝kx(k≠0)，由点到直线的距离公式可得3－6±14x.

故所求直线的方程为y＝2(2)当直线不经过坐标原点时，

xy设所求方程为＋＝1，

aa即x＋y－a＝0，由题意可得|4＋3－a|＝32，

2|4k－3|3＝32，解得k＝－6±14.

2k2＋1解得a＝1或a＝13.

故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.

3－6±14x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.

综上可知，所求直线的方程为y＝2

对称与方程

对称问题是本章知识的综合应用．

本章的对称主要有以下四种：

(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．

(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．

设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，求l关于P点的对称直线方程．

设P′(x，y)是对称直线l′上任意一点，它关于P(x0，y0)的对称点(2x0－x，2y0－y)在直线l上，代入得A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．

设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若P关于l的对称点Q的坐标为(x，y)，

则l是PQ的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ的中点在l上．解方程组

y－yAx－x·－B＝－1，可得Q点的坐标．

x＋xy＋yA·2＋B·2＋C＝0，0000(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．

求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程．

[解]

法一：设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

法二：在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)的对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0.

法三：直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0，点P(2，－1)到直线3x|7＋m|33－y－4＝0的距离d＝，由于点P(2，－1)到两直线距离相等，所以＝，解得m101010＝－10或m＝－4(舍去)，所以直线l的方程为3x－y－10＝0.