习题1.4教学创新设计

1.4

全称量词与存在量词

课后篇巩固提升

基础巩固

1.下列命题中,是真命题且是全称命题的是(

) A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等

C.∃x∈R,

=x

D.对数函数在定义域上是单调函数

解析A中含有全称量词“任意的”,是全称命题,但因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0;故是假命题.B,D在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,所以B,D是全称命题.菱形的对角线不一定相等,所以B是假命题,C虽然是真命题,但是特称命题,故选D. 答案D 2.命题:“∀x∈R,3x>0”的否定形式是(

) A.∃x0∈R,

≤0

B.∃x0∈R,

<0 C.∀x∈R,3x≤0 D.∀x∈R,3x<0 解析命题:“∀x∈R,3x>0”的否定形式是“∃x0∈R,

≤0”.

答案A 3.下列四个命题,真命题的个数是(

) ①若x∈R,则x+≥2 ②ac2>bc2的充分不必要条件是a>b

③命题“∃n∈N,n2>2n”的否定为“∀n∈N,n2≤2n”

A.0 B.1

C.2 D.3 解析对于①,当x>0时,x+

≥2, x=0时,x+

无意义, x<0时,x+

≤-2,∴①错误; 对于②,当a>b时,不能得出ac2>bc2,即充分性不成立, 当ac2>bc2时,能得出a>b,即必要性成立, 所以a>b是ac2>bc2的必要不充分条件,②错误;

对于③,命题“∃n0∈N,

”的否定为

“∀n∈N,n2≤2n”,③正确.

综上,正确的命题序号是③.故选B. 答案B 4.已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),

,则下列判断正确的是(

) A.p是假命题

B.q是真命题

D.(p)∧q是真命题

C.p∧(q)是真命题

解析由均值不等式知,命题p为真命题,而对任意x∈(0,+∞),都有2x>1,所以不存在x0∈(0,+∞),使得

,即命题q为假命题,故p∧(q)是真命题.

答案C 5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是(

) A.m≤3 C.m<3 答案A 6.命题“∃x0∈R,1≤f(x0)<3”的否定形式是

.

解析根据特称命题的否定是全称命题,得命题“∃x0∈R,1≤f(x0)<3”的否定形式是“∀x∈R,f(x)<1或f(x)≥3”.

答案∀x∈R,f(x)<1或f(x)≥3 7.下列特称命题是真命题的序号是

.

①有些不相似的三角形面积相等;②存在一实数x0,使

+x0+1<0;③存在实数a,使函数y=ax+b的值

B.m≥3 D.m>3

解析对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.

随x的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.

解析①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x∈R,x2

+x+1=

>0,所以不存在实数x0,使

+x0+1<0,故②为假命题;③中当实数a大于0时,

结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④.

答案①③④

8.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是

.

解析由题意,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有交点, 又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.

答案(-∞,-1]∪[1,+∞) 9.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.

(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立; (4)所有的有理数x都能使

x2+

x+1是有理数.

解(1)∀x∈R,x2+x+1>0,真命题.

(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一个解,假命题.

(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10,真命题.

(4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数,真命题.

10.写出下列命题的否定并判断真假: (1)不论m取何实数,关于x的方程x2+x-m=0必有实数根; (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除; (3)某些梯形的对角线互相平分; (4)被8整除的数能被4整除.

解(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,关于x的方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是:“存在实数m,使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实根,因此p是真命题.

(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.

(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.

(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.

能力提升

1.命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式是(

) A.∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0<2x+1 B.∀x∈R,∀n0∈N*,使得n0<2x+1 C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<2x0+1 D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1 解析由题意可知,全称命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式为特称命题“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1”,故选D. 答案D 2.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(

) A.p∧q

C.p∧(q) B.(p)∧q

D.(p)∧(q) 解析由20=30知p为假命题.

令h(x)=x3+x2-1,则h(0)=-1<0,h(1)=1>0, 所以方程x3+x2-1=0在(0,1)内有解.

因此q为真命题,故(p)∧q为真命题,故选B.

答案B 3.已知函数f(x)=ln -

(a∈R).命题 p:∃a∈R,f(x)是奇函数;命题q:∀a∈R,f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是(

) A.p

C.(p)∧q

B.p∧q

D.p∧(q)

-

解析当a=2时,f(x)=ln -

=ln 是奇函数,故命题p为真命题; 当a=0时,f(x)=0在其定义域内不是增函数,故命题q为假命题,所以p∧(q)为真命题.

答案D 4.若命题“∀x∈(1,+∞),x2-(2+a)x+2+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是(

) A.(-∞,-2] C.[-2,2] B.(-∞,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析判别式Δ=(2+a)2-4(2+a)=(a+2)(a-2), 当Δ=(a+2)(a-2)≤0,即-2≤a≤2时,不等式恒成立,满足条件.

当Δ=(a+2)(a-2)>0,即a>2或a<-2时, 设f(x)=x2-(2+a)x+2+a, 要使命题“∀x∈(1,+∞),x2-(2+a)x+2+a≥0”为真命题, 则满足

-

则a≤0.

-

∵a>2或a<-2,∴a<-2.

综上,a≤2,故选B.

答案B

5.已知命题p:∃x0∈R,a

+2ax0+1≤0,若命题p为假命题,则实数a的取值范围是

.

解析∵“∃x0∈R,a

+2ax0+1≤0”为假命题, ∴其否定“∀x∈R,ax2+2ax+1>0”为真命题, 当a=0时,显然成立;

当a≠0时,ax2+2ax+1>0恒成立可化为

-

解得0

综上,实数a的取值范围是[0,1).

答案[0,1) 6.以下给出五个命题,其中真命题的序号为

.

①函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是a<-1或a>

;

②“任意菱形的对角线一定相等”的否定形式是“菱形的对角线一定不相等”; ③∀x∈

,x

④若0

解析逐一考查所给的命题: ①函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点, 很明显a≠0,故f(-1)f(1)<0,据此可得:(1-5a)(a+1)<0, 则a的取值范围是a<-1或a>

,题中的说法正确; ②“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”,原命题错误; ③令f(x)=x-tan x,则f'(x)=1-

-

≤0,则

f(x)单调递减, 又f(0)=0,故f(x)<0恒成立,即x-tan x<0恒成立, 据此可知∀x∈

,x0,ba>0, 构造函数f(x)=

,则f'(x)=

,则函数f(x)在区间(0,1)上单调递增, 由于0

,则ln ab

故真命题的序号为①③④.

答案①③④

7.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x0∈R,a

-2ax0-3>0不成立,若p假q真,求实数a

- 的取值范围.

解因为命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,

所以命题p:∃x0∈R,

+(a-1)x0+1<0是真命题, 则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4, 故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.

因为命题q:∃x0∈R,a

-2ax0-3>0不成立, 所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立, 当a=0时,-3<0成立;

当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.

综上所述,-3≤a<-1.

所以实数a的取值范围是[-3,-1).