探究与发现 为什么截口曲线是椭圆优质课教案

【教学目标】

1．知识与技能目标： （1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利

用规律解决实际问题的能力. （2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思

想和方法 3．情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他

人合作交流的意识.

【重点难点】

1.教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导．

2.教学难点：椭圆标准方程的推导．

【教学过程】

☆情境引入☆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中椭圆形的物件呢？

☆探索新知☆

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，

两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？

线段F1F2

问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？

轨迹不存在

几点说明：

1、F1、F2是两个不同的定点；

2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；

3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；

4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.

5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）

已知椭圆的焦距|F1F2|2c,(c0)，椭圆上的动点M到两定点F1,F2的距离之和为2a，求椭圆的方程. 如图1，以两个定点F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点M(x,y)为椭圆上任意一点，则

PMMF（称此1MF22a

式为几何条件）

[来源: ]y M F1 O F2 x 图1 所以，得

xc2y2xc2y22a

（实现集合条件代数化）

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

将这个方程两边平方，得

（x+c）2+y2 = 4a2

－4a整理得

xc2y22axc2y2，

xc2y2(xc)2y2，

a2cxa(xc)2y2上式两边再平方，得

a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2,整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)方程

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？[来源学科网]

2由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以a两边同除以a(ac)，得

222c2＞0 x2y21.

222aac因为a2c2＞0不妨令a2c2b2，那么所得的椭圆方程可化为：

x2y21，(ab0)

（1）

a2b2我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上。

问题：如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为：（0，-c）,(0,c),

a ,b意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？

y2x2可让学生先猜想结论：221（a＞b＞0），并说明理由。

ab让学生通过对

y M

x yc2x2yc2x22a进行观察，与前面对比。

F O F 实际上只要将前面的x轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：

yx1，(ab0)

22ab（2）两种标准方程特点的比较：

1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。

2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。

题型一：椭圆定义的直接应用

22例1 两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

所以椭圆的标准方程为：

题型二：结合两点间的距离公式运用椭圆的概念

例2.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点(,)

，求它的标准方程。

解：椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

5232y2x221（a＞b＞0）. 2ab

由椭圆的定义知

2a =5335(2)22()2210,所以a = 10

222222又因为c = 2 ，所以b2 = a2

– c2 = 10 – 4 = 6 . 因此，所求椭圆的标准方程为

x2y21

106题型三：椭圆中焦点三角形的应用

例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.

(y≠0).

☆课堂小结☆

☆课后作业☆

练习

A组

1-3题

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