习题2.1教案公开课一等奖

求轨迹方程的基本方法

（复习课）

莱西一中

郝龙来

1

课题

课型

教学目标

情感态度价值观

教学重点

教学难点

教学方法

教学过程

知识再现

求轨迹方程的基本方法

一轮复习课

1.

掌握求轨迹方程的一般方法和求解步骤

2.

能熟练运用直接法、定义法、相关点法等求动点的轨迹方程

培养合作探讨、勇于创新的精神，渗透事物之间等价转化的辩证唯物主义观点

会用直接法、定义法、相关点法求曲线的轨迹方程

灵活运用各种方法求轨迹方程

启发讲授式与问题探究式．

教学内容

知识梳理：

1．求动点轨迹方程的步骤

(1)

建系

建立适当的坐标系；(2)

设点

设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)

列式

列出动点P所满足的关系式；(4)

代换

依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程，

并化简；(5) 证明

证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．

学生利用

2．求轨迹方程的常用方法

课前(1)直接法：求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，时间

自主将几何条件{M|P(M)} 直接翻译成x、y的形式F(x，y)＝0，然后学习

完成上课进行 变换，化简为f(x，y)＝0. 简单(2)定义法：从分析问题的特点入手，运用有关知识，得出动点所点评

满足的几何条件符合某一基本轨迹或二次曲线的定义，从而利用曲线的定义或利用其方程的一般形式采用待定系数法求出动点的轨迹方程．

(3)代入法：此法又称相关点法，其特点是动点随某已知曲线上的2 学生设计

活动

意图

通过复习再次回顾有关知识方法

课前

自测

点运动而运动，将已知曲线上的点的坐标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨迹方程．求轨迹的方程还有待定系数法、参数法、交轨法、整体法等．本节我们重点研究上述三种方法．

1．已知M(－3,0) , N(3,0) ,动点P满足PMPN0，则P点的轨迹方程为( B

)

x22A.9＋y＝1

B．x2＋y2＝9

C．x2－y2＝9 D．x2＋y2＝25

2．到两个定点A(0,－2) , B(0,2)距离之和为6的点的轨迹方程为( B )

x2y2y2x2A.9＋4＝1

B.9＋5＝1

C.－＝1 D.－＝1

9495x223.设P点为双曲线4－y＝1上一动点，O为坐标原点，

M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为

先让学生思考或讨论后再回答经教师提示点拨

让学生清楚地意识到直接法的关键是什么

x2y2y2x2

考点一

直接法求轨迹方程

考点讲解

【例1】如图，圆O1与圆O2的半径都等于1，O1O2＝4.过动点P1 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝

2PN.试建立平面直角坐标系，并求

动点P的轨迹方程．

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2

所在的直线为x轴建立如图所

示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设P(x，

22y)．由已知PM＝2PN，得PM＝2PN因为两圆的半径均

3

22222[(x－2)＋y－1]化简得(x－6)＋y＝33，所以所求轨

22迹方程为(x－6)＋y＝33

点评：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，其基本步骤是：①

建系，②设点，③列式，④代换、化简，⑤证明．其中“列式”

就是寻找动点满足的“限制”条件，“证明”这一步有时可省

略．

变式

变式训练1.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得动手训练

实践1 的弦长MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．

反馈

思考

总结解：如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意得，|O1A|

学生

板书

＝|O1M|.当O1不在y轴上时，过点O1作O1H⊥MN交MN

于点H，则H是MN的中点，所以

22|O1M|＝x＋4，又|O1A|＝

2222(x－4)＋y，所以(x－4)＋y

222＝x＋4，化简得y＝8x(x≠

0)．当O1在y轴上时，O1与O重

2

合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y＝8x.所以动圆圆

2心的轨迹C的方程为y＝8x.

考点二：定义法求轨迹方程

考点通过

讲解

画图22222 【例2】设圆C与两圆(x＋5)＋y＝4，(x－5)＋y观察

分析＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C的圆心轨迹L联系

定义的方程．

讨论

解：设两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，圆

C的圆心C.依题意有|CF1|＋2＝|CF2|－2，或|CF2|＋2

4

222为1，所以PO21－1＝2(PO2－1)．所以(x＋2)＋y－1＝

巩固方法

通过圆与圆的位置关系感受定义法的特点

变式训练

2

＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a<|F1F2|＝25＝2c，所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为25的双曲线，设所求方程为

x2y25，所以b2＝c2－a2＝1，故2－2＝1，因为a＝2，c＝ab圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1. 4点评：运用定义法求动点轨迹方程的基本步骤：

第一步,分析动点满足的几何条件符合某已知曲线定义；

第二步,利用待定系数法确定方程中的参数．

x2变式2．(2016·新课程卷Ⅰ·理节选)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程．

解：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4.所以E点轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的椭圆．由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)43

5 x2y2．

独立思考完成解答

体会高考

强化解决问题的能力

考点

讲解

3

变式训练

3

考点三：相关点法求轨迹方程

【例3】已知A(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，B是圆上的一点，求线段AB的中点P的轨迹方程．

解：设AB的中点P为(x，y)，B为(x0，y0)．

由于P为ABx＝2，的中点，因此有y＋0y＝2，0x0＋4

即x0＝2x－4，y0＝2y.

2又因为点B在圆上，所以x0＋y20＝36，

所以(2x－4)2＋(2y)2＝36.化简得(x－2)2＋y2＝9. 所以线段AB的中点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝9. 点评：(1)代入法求轨迹方程的一般步骤：

分析特点：与动点M(x，y)相关的点P在已知曲线上运动；

②寻找关系：x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；

③代入曲线：将x0，y0代入已知曲线方程；

④化简整理：化简整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程．

(2)利用代入法的关键是找出动点与已知曲线的动点坐标间的关系，要注意分析动点与相关点的变化规律，找到与相关点的联系．

变式训练

3．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程

解：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，点N为轨迹上任意一点．因为PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y20＝0. 由MN＝2MP，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，

6 清晰

地掌

握相关点法的

实质

教师换一引导种授学生课方分析式可解思以提路，

高学学生生的观看学习微课兴视频

趣，

拓宽

学生

的学

习方

式

教师引导学生分析解题思路

学生完成后进行成果展示

课堂检测

x－x0＝－2x0所以y＝2y0

x＝－x，即1y＝y200

，

所以－x＋＝0，即y2＝4x. 4故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x(x≠0)．

1.已知动点P到点A(2,0)与点B(2,0)的斜率之积为1，求点4y2

学生根据所学知识独立解答

检测学生对本节课所学知识的掌握情况，使以后的教学更有针对

性

2. 动点P到点2,0的距离比它到直线x10的距离大1，则

点P的轨迹方程为___________.【答案】y28x]

3.已知抛物线y2x1和点A(3,1)，B为抛物线上一点，点P在线

段AB上且BP:PA1:2，当点B在该抛物线上移动时，求点P的

轨迹方程．

23y13x31．

又B点在抛物线上，则

22

2121整理得yx为所求轨迹方程．

333

设计意图：巩固与深化方法的运用，让学生能寻找分析问题、解

决问题的途径与方法，以达到逐步深化逻辑思维能力。

x2P的轨迹方程．【答案】 y21 (x2)

4

7

课堂

小结

课后

作业

课堂小结

1.求轨迹方程的方法一般有待定系数法、直接法、定义法、相关点法、参数法等，在具体求方程时，要根据问教师引导学生进行归类总结

强化学生本节课所学知识

题的特点灵活地选取．

2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，

应先求出轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位

置、大小等．

3．运用直接法，最关键的一步是把几何条件“翻译”

巩知识，活学活用

成代数方程，要注意这个“翻译”的等价性；运用“定义法”的关键是判断所求轨迹符合某已知曲线的定义；运用代入法的关键是找到动点与相关点之间的联系．

4．轨迹问题是高考重点考查内容，常常作为解析几何中的第一问，常与最值、定值、探索性问题等结合在一起进行考查．

(必做）

1.已知点Q是曲线

yx2上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程. 2. 已知ABC中B(3,0)、C(3,0)，ABC的周长为16，

（1）顶点A的轨迹是什么图形？（2）求顶点A的轨迹方程

3.过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被

圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

（选做）

4.在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面→＋yAD→＋→ABCD内一点，且满足：xABPA＝0(x，y∈R)．则当点P3→在以A为圆心，|BD|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系3式为

(

)．

A．4x2＋y2＋2xy＝1

B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1

8

学生独立完成课后作业.

D．x2＋4y2＋2xy＝1