1.2.3 空间几何体的直观图多媒体教学设计及其点评

第1讲 空间几何体的结构特征、三视图与直观图

考点1.三视图与直观图的辨识

1．空间几何体的三视图

(1).几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①.基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②.画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．

2．用斜二测画法画几何体直观图的注意点

(1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：

坐标轴的夹角改变，平行性不变，①“三变”与y轴平行线段的长度改变（减半），②“三不变”与x轴平行的线段长度不变，

图形改变.相对位置不变.(2).对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系：

S′＝2S，并能进行相关的计算．

4例1(1)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

) A．棱柱

B．棱台

C．圆柱

D．圆台

（2）．(2014·课标Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(

)A．三棱锥

B．三棱柱

C．四棱锥

D．四棱柱

（3）已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为（ ）

A 3262a B 3a2 C a D 6a2

22（4）一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（

）

1

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④

【变式训练】

1.(2015·河南南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为(

)

2.若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是( )

3.(2015·河北邯郸二模)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个

视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形

的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4 第4题

4.如图,一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形ABO,若OA2，

那么原三角形ABO的最长边的长度为（ ）

A．22 B．42 C．6 D．4 5.（南昌市八一中学2017届高三2月测试）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（

）

A．a,b B．a,c C．c,b D．b,d

6.一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为（ ）

2

[来源:Zxxk.Com]

第6题

7.（2013·济宁模拟）点M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点,用过A．M、N和D．N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为（

）

A．①、②、③ B．②、③、③ C．①、③、④ D．②、④、③

第9题

8.（2017·广州模拟）]如图所示，

网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直8角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，

则该几何体的俯视图可以是(

) 3

9.(2015·豫南九校第三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

【方法总结】

由三视图还原直观图的方法

(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．

(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．

(3)想象物体原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．

考点2 三视图与直观图的应用

1．常见几何体的三视图的形状

(1)空间几何体的三视图中如果正(主)视图和侧(左)视图都是三角形，那么其一定是锥体，如果俯视图是多边形则是棱锥，多边形的边数是几，这个棱锥就是几棱锥，如果俯视图是圆则是圆锥．

(2)空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图如果都是矩形，这个空间几何体一定是柱体，如果俯视图是多边形，则该空间几何体是棱柱，多边形的边数是几就是几棱柱，如果俯视图是圆则是圆柱．

2．明确三视图与几何体的数量关系

3

正(主)视图、侧(左)视图的高就是空间几何体的高；正(主)视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度；侧(左)视图、俯视图中的宽就是几何体的最大宽度．

考点2.几何体的表面积与体积的计算

[微题型1].以三视图为载体求几何体的表面积

例2 (1)(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

(

) A.1＋3

B.1＋22

C.2＋3

D.22 (2)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(

) A.28＋65

B.30＋65 C.56＋125

D.60＋125 (3)．(2016·湖南永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为(

)

A．1

B.D．23

【变式训练2】

1.(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(

)A.18＋365

B.54＋185

C.90

D.81 2.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为(

)

A.46

B.52＋π

C.52＋3π

D.46＋2π

3．(2016·陕西西安一模)如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为(

) 1111A.(22＋32＋4)

B.(22＋32＋8)

C.(22＋2＋8)

D.(22＋22＋8) 2222

5

C.6

2

4

4. (2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)A．180

B．200

C．220

D．240 [微题型2] 以三视图为载体求几何体的体积

例3 (1)(2016·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) （4＋π）3（4＋π）3（4＋π）3A.

B.

C.

D.(4＋π)3 326(2)(2016·衡水大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该202216多面体的体积为(

)

A.

B.8

C.

D.

333

【变式训练3】

1.(2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

) 111A.

B.

C.

D.1 6322. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的

三视图，则该多面体的体积为（ ）A．

3.(2015·课标Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部1111分体积的比值为(

)

A.

B.

C.

D.

87654．(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(

) 2347A.

B.

C．6

D．7 36457 B．

C． D． 333

5

探究提高(1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解. [微题型3].与球有关的问题

例4

(1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

)A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

(2)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为(

) 2322

B.

C.

D.

6632(3）.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(

) A.A.8π

B.16π

C.32π

D.64π

探究提高

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【变式训练4】

1.[2017·长沙一模]某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是(

) A．15π

B．16π

C．25π

D．27π

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（

）

A.8 B. C.12 D.41

43.[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

) 3πππA．π

B.

C.

D.

424

6

4．[2017·宁德质检]已知正三棱柱ABC -

A1B1C1的顶点都在同一个球面上，且该正三棱柱的体积为面三角形ABC的周长为3，则这个球的体积为__________．

3，底25.[2017·全国卷Ⅱ] 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．

热点3.多面体的体积计算

例4

(1)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为(

) A.66

B.68

C.70

D.72 （2）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.

例5.(2015·课标Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

【变式训练5】

1.(2014·课标Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为(

)

33A．3

B.

C．1

D.

222.(2013·课标Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(

) 500π3866π3

1 372π32 048π3A.cm

B.cmC.cm

D.cm

3333

7

3.(2015·课标Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

4．(2015·湖南)某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，新工件的体积并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为材料利用率＝(

) 原工件的体积24（2－1）38（2－1）388A.

B.

C.

D.

9π27πππ

5．(2014·广东中山模拟)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇π2π形，则该几何体的体积为(

)

A.

B.

C．π

D．2π

33处理体积问题的思路

(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解长度的高；

(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；

(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱

柱复原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法．

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