3.1直线的倾斜角与斜率（通用）公开课教案

《直线的倾斜角和斜率》教案

课型：新授

教学目标：

1.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 3.已知直线的斜率，求直线的倾斜角 4.培养学生“数形结合”的数学思想. 教学重点：

斜率概念

，用代数方法刻画直线斜率的过程. 教学难点：

1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 2运用两点坐标计算直线的斜率

教学过程：

一.知识背景与课题的引入

1.从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。 坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入

下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课

1问题1 对于平面直角坐标系内的一条直线

它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗? 分析:两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与

轴正向成一定的角度，因而我们可通过先固定一个点,再确定另外一点来确定一条直线。

【归纳总结】

直线倾斜角的定义：

当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination） 注意： (1)直线向上方向；(2)轴的正方向。

【定义考察】

下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

y

aAa思考：直线倾斜角的范围是多少

?

角的取值范围为a∈[0，π）：

当直线L与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜延伸拓展：按倾斜角分类，直线可分为几类？

思考：直线的倾斜角意义是什么？

体现了直线对轴正方向的倾斜程度

在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 注意：倾斜角相同，不能确定唯一直线。相同倾斜角可作无数互相平行的直线

问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量: 例如:坡度(比)= 升高量/前进量

类比可得：

直线斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slop) 记作:k=tana

问题4 (1)

是不是所有的直线都有倾斜角?是

(2)

是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在.. 探究：由两点确定的直线的斜率

设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求此直线的斜率.------可通过构造直角三角形

CD当α为锐角时：

由相似三角形，我们有k=当α为钝角时：

由相似三角形，我们有k=y2-y1x2-x1y2-y1x2-x1>0 <0 当α为直角时：斜率k不存在

思考：当倾斜角为0°时,此公式适用吗？

xxoxooya

Box

yya

思考：当交换两点位置，斜率如何变化？-----计算斜率，与两点位置无关

综上讨论,我们得到经过两点

P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1¹x2)的直线的斜率为k=y2-y1x2-x1（x1x2）

练习：关于直线的倾斜角和斜率，下列那些说法是正确的（ ）

1. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

2. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

3. 平行于x轴的直线的倾斜角是0；

4. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；

5. 过原点的直线，斜率越大越靠近于y轴；

6. 直线斜率的取值范围是R；

7. 两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等。

三.例题分析

例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这

些直线的倾斜角是什么角？

例2:已知直线l过原点O，且与线段MN相交,又 M(-2,4),N(3,2)(1)求直线OM,ON，MN的斜率.

(2)设M,N,P(4,a)三点共线,求a的值.

(3)求直线l的斜率的取值范围.

y(4)若MN与l交与点P（x,y），求的取值范围.

x

(5)若l与MN交与点P(x,y)，且l的斜率k=3 求P点坐标.

例3、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线

例4、例4,已知三点A(a,２），Ｂ（５，１），Ｃ（－４，２a）在同一直线上，求a的值

四.小结

填表：

定 义

取值范围

直线的倾斜角

直线的斜率

直线的斜率公式