4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计及课堂实录

4.3.1空间直角坐标系

【教材】

人教A版普通高中数学必修二第134页至136页. 【课时安排】

1个课时.

【教学对象】

高二（上）学生.【授课教师】

杨晓东

一．教材分析：

本节内容主要引入空间直角坐标系的基本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的基础上进行推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的基础。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形紧密结合，提供一个度量几何对象的方法。其对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。

二．教学目标：



知识与技能

（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；

（2）掌握空间点的坐标的确定方法和过程；

（3）能初步建立空间直角坐标系。



过程与方法

（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；

（2）类比学习，循序渐进。

1



情感态度价值观

（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：

教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法：

启发式教学、引导探究

五．教学基本流程：

复习旧知，创设情境

↓

引导探究，动手实践

↓

建构数学，类比学习

↓

应用迁移，拓展升华

↓

课堂小结，布置作业

六．教学情境设计： 教学

环节

教 学 内 容

教师

活动

学生

活动

设 计 意 图

2

回顾：

1．平面直角坐标系的建立方法

2．平面内点的坐标的表示方法

（一）

复习

旧知，创设

情境

约

5分钟

3．平面内点与坐标之间的一一对应关系

提问：

如何确定我们教室在学校中的地理位置？

看电影的时候如何寻找自己的座位？

那么如何确定吊灯在房间中的位置？

教师

回顾

然后

通过

一系

活场

景的

发问，激发

学生

学欲

望

学生

回答

问题

（1）通过复习建立新旧知识间的联系，为引准备。

（2）通过实际问题的情境创设，吸引学生的注意力，让学生积极感受到数学与生活的紧密联系。

旧知，

思考，入新课做好在图书室的书架上如何确定某本书的位置？

列生

3

思考：

借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，那么能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……

（二）

引导

探究，动手

实践

约

思路点拨：

通过在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对（x，

教师

初步

引导

学生

操作

学生

动手

思考

与表

达

（1）充分调动学生的积极性，组织学生讨合作学习，教师成为学生学习的促进者与合作者。

（2）引导学生通过合情的猜想类比逐步探索出空间直角坐标系，达到使学生掌握一定的类比猜想能力的教学目画图，

论、探究，确定。那么为了确定不在地面内的物体（如6分钟

y）吊灯）的位置，我们还需要什么（第三个数表示物体离地面的高度）？怎么来表示？

标。

教师

学生

经过

教师

的指

探究

中积

极思

（1）在学生形成模糊概念时进行概念引入，易接受概念、理解概念。

概念引入：

如图所示，OABCD'A'B'C'是单位正方体，根据

以O为原点，分别以射线OA、OC、OD' 学生

的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、的想

z轴。这时我们说建立了一个空间直角坐标法逐

系，其中O点叫做坐标原点，x轴、y轴、z步引

轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫导学

做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、生类

zOx平面。

比平

4

导，在

让学生更容考，逐

（三）

建构

数学，

类比

学习

约

19分钟

xAA'zD'B'yC'面直

角坐

标系

的知

OBC步形

成空

间坐

标概

念。

学生

思考

小组

讨论

（2）加强学生对空间直角坐标系的认识与理解，避免坐标轴上的单位长度选取不当造成的图形直观性差。

（3）右手直角坐标系的介绍，与物理中的右识进

行探

究，并

给予

概念

【总特点】从一点引出三条互相垂直的射线。

适时

小组讨论：

由空间直角坐标系的定义，类比联系平面直的渗

角坐标系，并结合正方体直观图的画法，试入与

特点？

总结：

方向、单位长。

2、在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xoy135,yOz90。

总结在平面上画出的空间直角坐标系有什么解释。

1、空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴

3、在y轴、z轴上的长度都取原来的长度，

而在x轴上的长度取原长度的一半，即x轴

上的单位长度在平面内表现出来时是y轴、z教师

轴上的单位长度的一半。

概念引入：

引导

讲解

探究，

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴

的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指

指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手

直角坐标系。

5

Z

学生

观察

思考

理解

学生

观察

思考

领悟

手定则联系起来，动态的解释，使学生更容易理解直角坐标系的结构特点。

（4）通过类比平面直角坐标系，引导学生探究空间中点的坐标确定过程，让其自己经历数学的变化，从而对新知识的理解更加深刻。

Y

X

【延伸拓展】右手直角坐标系的其它解释—

—先把大拇指指向轴正方向，把其余四指指

向轴正方向，然后握成拳头，这时四指扫过

原平面直角坐标系的第一象限从轴正方向到

轴正方向。

思考讨论：

给定空间一点M，类比平面直角坐标系中点

的坐标的确定方法，如何确定点M的坐标？

教师

引导

讲解

过程解释：



如图所示，设M为空间的一个定点，过

点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的

平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、

Q和R，设点P、Q和R在x轴、y轴和

z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点M

就对应唯一确定的有序实数组（x,y,z）。



反过来，给定有序实数组（x,y,z），我

6

们可以在x轴、y轴和z轴上分别取坐标

Qx、y为实数和z的点P、和R，分别

过P、Q和R各作一个平面，分别垂直

学生

思考

体会

（5）用数字举例解决情景创设的问题，化抽象为具体，帮助学生理解概念的建构。

于x轴、y轴和z轴，这三个平面的唯一

交点就是有序实数组（x,y,z）确定的点

M。



这样，空间一点M的坐标可以用有序实

数组（x,y,z）来表示，有序实数组

（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标

系中的坐标，记作M（x,y,z）.其中x叫

做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐

标，z叫做点M的竖坐标。

老师

问题解决：

引导

回到刚刚的吊灯，若这个灯在平面xOy上的分析

射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距

离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定

这个电灯的位置。

(四)

学以例一：

如图，在长方体OABCDABC中，

教师

引导

分析

讲解

演示

学生

观察

思考

领悟

（1）通过例题变式和讲解，加深学生对空间直角坐标系的认识，让学OA3,OC4,OD2。

致用

1、写出D,C,A,B四点的坐标。

7

约

8分钟

2、若AC与BD相交于点P，写出P的坐

标。

3、试找出坐标为（3,2,2）与（0,1,0）的点

的位置。

zD'A'B'OByAxz

学生

独立

思考

生进一步体会空间直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，也有利于培养学生的空间想象能力。

（2）在老师的引导下学生独立完成，感受数学与其他学科的联系，以及数学对自然科学研性，体现了“学有用的数学”这一新课程的基本理念。

D'A'PB'OByC'C'

AxCC

例二：

结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶

胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5的小

正方体堆积成的正方体），其中色点（浅色

点）代表钠原子，黑点（深色点）代表氯原

教师

子.如图，建立空间直角坐标系Oxyz后，试引导

写出全部钠原子所在位置的坐标。

让学

生尝

试独

立完

成

分析，

理解，究的工具8

1.空间直角坐标系及相关概念：右手系、三

要素（原点、坐标轴方向、单位长）、如何教师

学生

思考

理解

体会

锻炼学生的概括总结能对所学的知识体系进一步深化，与学习目标相应。

（五）

建

引导

学生

课堂

2.空间直角坐标系中点与坐标的一一对应关进行

小结

约 给出具体的点写出它在空间直角坐标系中3分钟

1）

的坐标；

2）由具体的点的坐标找出它在空间直角坐标系中的位置。

3.本节课用到的思想方法：数形结合思想、类比的思想。

2.我们为什么要学习空间直角坐标系呢，学了它我们能做什么呢？

在解决某些立体几何问题时，利用空间直角坐标系，可以快速计算出两点的距离，从而找到突破口，得到关键对象的位置关系。

那么如何用坐标计算两点之间的距离呢？让我们共同期待下节数学课的到来！

家庭作业: 【必做题】

课本136页练习第1,3题；预习4.3.2 9

回答，

力，使学生系：

总结

教师

布置

学生

认真

作业循序渐进，进一步

（六）

【思考题】

布置

作业

作业

教师

纪录

学生

思考

问题

巩固知识；分层次布置作业，既面向全体学生又尊重学生的个体差异。

1）落在坐标平面、坐标轴上的点的坐标有什

么特征？

2）类比平面直角坐标系中对称点的规律，试解释

总结出空间直角坐标系中对称点坐标间的关问题

约

系。

对于各棱长都为1的三棱锥ABCD,建立空间直角坐标系，写出四点A、B、C、D的坐标。（答案不唯一）

1分钟

【选做题】

六．板书设计：

空间直角坐标系

一、基本概念

三要素

右手系

注手意

二、点与坐标一一对应

1、

2、

例1

例2

七．创新之处：

充分发挥了学生的主观能动性，引导学生主动思考，亲自动手，激发了学生对新知的兴趣，培养了学生的问题解决能力与数学探究能力，体现了现代数学教育的价值取向。

通过生活实例并结合已学的二维坐标系知识，帮助学生建构空间直角坐标系的概念，循序渐进引导学生理解其结构特点以及点与坐标的关系，体验数学“升10

级”的过程，尝试对现实世界蕴涵的一些数学模型进行探索思考，作出判断。

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