探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解教学实录与评析

探究与发现

牛顿法——用导数法求方程的近似解

一、教学目标

1.

会用牛顿法求方程的及四届，并能借助Excel，《几何画板》软件和计算机辅助求解，感受现代计算技术在数值运算中的作用。

2.

了解高次方程探索历程，应用及发展趋势，体会近似解代替精确、以直代曲、逼近、数形结合等思想。

3.

学生根据历史材料的阅读，初步了解古今中外数学家在方程求解方面所取得的成就，感受人文精神，渗透数学文化，提高学生的数学素养。

二、教学重点

用导数方法探究方程近似解的过程，得出牛顿法求近似解的一般规律。

教学难点

以直代曲的思路的探求牛顿法原理的过程，

三、教学策略

依据教学内容的特点和教学目标要求，结合学生现有的认知水平，主要采用发现、探究、对比的教学方法，回顾二分法求近似解的原理，通过小组合作完成近似解的求解。学生通过“放大”和“缩小”，观察近似解所在区间的函数图像，分析该图像的特点，联想到导数的

探索和分析，让学生亲历“作切线”的过程，完善“作切线”的规则，加深切线的交点逐渐逼近零点r在学生脑海中的印象，感悟到牛顿法求近似解的思想，在自主探究中逐渐拓展学生的知识。

四、教学过程

（一）课题引入

中外历史上的方程求解

在人类用数学智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。

我国古代数学家比较系统地解决了部分方程求解的问题，这些成果在《九章算术》、《黄帝九章算法细草》、《数书九章》中均有记载。

在16世纪，已找到了3次和4次方程的求根公式，人们曾经希望得到一般的5次以上方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果。1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成果地证明了5次以上一般方程没有根式解。1828年法国的天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程。人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式。因此对于高次多项式函数及其他一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法。这就是一个在计算数学中十分重要的课题。

（二）探究发现

1、看一看

32用二分法求方程x2x10x200，在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01）

（1）识表：表1 计算次数

1 2 3 4 5 6 7 （2）识图

区间

（1，2）

（1，1.5）

（1.25，1.5）

（1.25，1.375）

（1.3125，1.375）

（1.34375，1.375）

（1.359375，1.375）

中点値

1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.359375 1.3671875 中点函数近似值

2.875 -2.42188 0.130899 -1.169 -0.52481 -0.19846 --0.034172535 精确度

0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

0 R 问题1：方程的近似解在哪个区间？

问题2：在区间（1.359375，1.375）上的图像的形状是怎么样的呢？

2、探一探

问题3：函数的零点同切线与x轴交点的横坐标之间的关联？

问题4：如何作切线

（1）给定起始点x04

（2）求切线方程

（3）求切线与x轴交点的横坐标

（4）与二分法得到的近似解进行比较

3、想一想

问题5：数列xn是不是杂乱无章的呢？xn与xn1之间是否有关系？

函数 在点

处切线的斜率是

因此切线方程为

如果

，令

，

则切线与x轴交点的横坐标

函数 在点

处切线的斜率是

因此切线方程为

如果

，令

，

则切线与x轴交点的横坐标

R 0

继续这个过程，就可以得到如下求方程根的牛顿法公式：

如果

，令

，则

问题6：

满足什么条件才可以作为零点r的近似解？

由于有时无法求出准确解，就无法知道近似解与准确值相差多少？

所以算不出

的值，对此，数学家们想了一个办法：用

叫绝对误差，

来表示相对误差，

如果在一个给定的精确度范围内就可以把

作为方程的一个近似解。

4、算一算

完成下列表格，表2 n 0 1 2

4

3 4 5 6

（通过Excel计算）

第一步：取

第二步：计算

和

第三步：用

代替

重复第二步和第三步的过程，得到

，一直继续下去，得到

，

，

。

结论：通过重复上述步骤计算，得到的切线与x轴的交点横坐标

值会越来越接近r的值。见表3，表4 次数n

42.4324324321.6173339581.3855811611.3688891991.368808111.368808108

)11630.549819365.6354500960.355569335508115000000.001710750920693730000.000000040153679492510.00000000000000000000

)7437.4799123424.3166432321.3018301精确度Z0.010.3350960390.1432931010.01204690300773520000012345621.097129710.0000592372805090306021.096139360.0000000013905280936421.09613934

R

0

（三）合作探究（教师引导操作）

由于计算量较大，而且重复相同的步骤。因此，我们可以借助《几何画板》和Excel来完成计算。

以求

的零点为例。

问题7：不同的人选择的初始值不一样，得出的

也不一样。差别太大，那么不同的起始点对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？

当起始点

分别取10,2,1，-2时，通过Excel得到以下结果。（链接Excel）

结论：起始点越接近零点越好，重复次数越少，因此在利用牛顿法求方程的近似解时可以先对零点用二分法作一个估计。

（四）学以致用

例题，借助《几何画板》和Excel，用牛顿法求方程

的近似解。（精确度为0.01）

解：步骤：（1）利用《几何画板》画出图像，确定函数零点所在的大致区间

（2）确定起始点

和

（3）通过推导可得牛顿法公式：

（4）利用Excel计算

（5）得出结果

（学生推导公式，老师帮助计算）

问题8：当起始点

行吗？为什么？

切线平行于x轴。这也是牛顿法的局限性，与起始点的选择有一定的关系。

（五）小结（讨论得出）

1、如何用牛顿法求方程的近似解的值。

用牛顿法求方程近似解的步骤：

第一步：给定起始点

和精确度

第二步：计算

。（

，

）

第三步：若精确度

，则

即为所求。

2、不同起始点对牛顿法对方程近似解的影响怎样？

（1）起始点

越接近零点越好，因此，在利用牛顿法可以事先对零点作一个估计。

（2）如果解不唯一，那么起始点不同可能得到的解不同。

（3）若起始点选择不好，方程的近似解可能就找不到。

（4）在求解过程中某点处

，

，则牛顿法不能继续求解，可以稍稍转变初值。

3、你认为二分法和牛顿法求方程近似解各有什么优点和缺点。

二分法：计算时相对简单，但速度较慢

牛顿法：速度快，但需要合理地选择起始点，最好在根的附近。在不知根在哪个小范围的情况下，最好先用二分法找到一个较小的区间，再用牛顿法求近似解。

（六）课堂练习

板书设计

牛顿法——用导数法求方程近似解

一、复习二分法、导数的几何意义

二、新课

例题的推导过程

步骤：1、

2、

3、

三、应用

四、小结