二、圆锥曲线的离心率与统一方程教学目标

圆锥曲线的定义拓展

官渡区第二中学

田红月

云南昆明

【教学目标】

知识目标：

1、了解圆锥曲线的统一定义；

2、掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．

3、圆锥曲线的统一定义中，焦点与准线要对应，到定点与到定直线距离之比不能颠倒。 4、圆锥曲线的统一定义中，常数的范围不同，对应的圆锥曲线也不同。

能力目标：

培养数学建模、解决问题的能力。渗透特殊到一般，具体到抽象的数学思想。

德育目标：培养学生的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。

情感目标：在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物

【教学重、难点】

圆锥曲线的统一定义及准线方程．

【课前准备】

将教材（人教A版选修2-1）第二章中求轨迹方程的题目找出来，并根据题设，将具有相同背景的题目进行归类，小组讨论后进行归纳总结。

通过学生对教材例题、习题的整理，发现相同背景的题目，并从中发现圆锥曲线的其它定义（由于课标不要求第二定义，所以教学过程中不一定指明定义，但要培养学生的探究意识）

【教材分析】

教学内容：

《圆锥曲线的定义拓展》是普通高中新课程标准实验书《数学》选修2—1的习题内容。本章主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。

教材地位与作用：

高一我们已经学习了直线和圆的方程，前面我们又对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，进一步熟悉和掌握坐标法。

本节课是学习完三种圆锥曲线几何性质之后的总结，总结的是椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的共同性质，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系

。

【教法与学法分析】

学情分析：

初步掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义和它们的标准方程；

学习了椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质；

已经具有一定的运用坐标法建系的能力：

不足：比较畏惧有实际背景的数学应用问题，分析问题、解决问题的能力比较薄弱

；数学建模能力不足。

教法分析：

我们知道研究曲线及其性质的基本方法是坐标法。用坐标法研究曲线有两个基本环节，一是建立坐标系，二是建立方程。在学生已经初步掌握坐标法的前提下，本节课以学生为主

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体，教师为主导，训练为主线，思维为主攻。问题由学生提出，过程由学生推进，规律由学生发现，结论由学生总结。

学法指导：引导学生观察、归纳、实验、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的学习情景，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法及分类讨论的数学思想，养成良好学习习惯和思维习惯。

教学手段：多媒体电脑和投影仪。

【教学设计】

一．与两定点A(a,0),B(a,0)(a0)连线的斜率之积、比、和、差等于定值的点的轨迹

1.(人教A版选修2-1,P41例3)设点A、B的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线AM、BM相4x2y21(x5)

交于点M，且它们的斜率之积为-，求点M的轨迹方程。

10092592.(人教A版选修2-1,P直线AM、BM相55探究)设点A、B的坐标分别为(5,0)，(5,0)，4x2y21(x5)

交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。

10092593.(人教A版选修2-1,P80复习参考题A组第10题)已知ABC的两个顶点A、B的坐标分别为(5,0)，(5,0)，且直线AC、BC所在直线的斜率之积为m(m0)，求顶点C的轨迹x2y21(x5)

方程。

2525mb2b2结论：与两定点A(a,0),B(a,0)(a0)连线的斜率之积等于定值2（或2）的点的aa轨迹是椭圆（除长轴的端点）（或双曲线（除实轴的端点））

注：m1时轨迹是圆

4.(人教A版选修2-1,P815)设点A、B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之和为2，求点M的轨迹方程。

xyx1(x1)

5．(人教A版选修2-1,P42练习4)设点A、B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率的商是2，求点M的轨迹方程。

x3（去掉点(3,0)）

2 2

B的坐标分别为(1,0)，6. (人教A版选修2-1,P74B组3题)设点A、直线AM、BM(1,0)，相交于点M，且它们的斜率的差是2，求点M的轨迹方程。

y1x2(x1)

二．平面内与两个定点的距离之和、差、积、比等于常数的点的轨迹

7. 设点A、B的坐标分别为(4,0)，(4,0)，且动点P满足PA3PB,求点P的轨迹。

(x8)2y245（阿波罗尼斯圆）

8. 平面内一动点P(x,y)到两定点A(a,0)，B(a,0)的距离的乘积等于定值m，求动点P的轨迹。

2(x2y2)22a2(x2y2)a4m40（卡西尼卵形线）

结论：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆；

平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点之间的距离）的点的轨迹是双曲线；

平面内与两个定点的距离之积等于常数的点的轨迹是卡西尼卵形线；

平面内与两个定点的距离之比等于常数的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）；

三．到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹

9．(人教A版选修2-1,P47例6)已知点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x25的44x2y21

距离的比是常数，求点M的轨迹。

525910．(人教A版选修2-1,P59例5)已知点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线l:x1655x2y21

的距离的比是常数，求点M的轨迹。

4169a211．(人教A版选修2-1,P62B组3题)求到定点F(c,0)(c0)和它到定直线l:x的距离cccx2y2之比是常数(1)的点M的轨迹方程。

221

aaab

若动点到定点（焦点）的距离与它到定直线（相应准线）的距离的比是常数（离心率），

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则当常数（离心率）等于1时，轨迹为抛物线；当常数（离心率）小于1大于0时，轨迹为椭圆；当常数（离心率）大于1时，轨迹为双曲线；

【当堂检测】

1.已知某圆锥曲线的准线是x1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：

（1）e32 （2）e1 （3）e

2222x2y21上一点P到右准线的距离为，则该点到x轴的距离为 . 2.椭圆32516x2y21的左准线是l，左、右焦点分别为F1,F2，抛物线C2的准线也是l，3.椭圆C1：43焦点为F2,C1与C2的一个交点为P,则PF2的值等于 . 4.动点P与点F(1,0)间的距离比点P到直线l：x2的距离小1，则点P的轨迹方程为 . x2y21内，F的坐标为（2，0）5. 已知点A(1,2)在椭圆，在椭圆上求一点P使1612PA2PF最小.

【课时小结】

（1）第一轮复习要回归教材（高考源于教材）

（2）养成问题意识，培养提出问题，解决问题的能力。

（3）关注问题的多向发展，重视纵横联系。

（4）探究、拓展、归纳

【课后反思】

由于前面己经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，己积累一定经验，对统一定义这一部分己有一定的自学能力，故本节在抓好基础知识的同时，注重激发学生学习的兴趣，同时注重学生在自我探索过程中发现知识，培养探究意识。让学生成为一名自主的学习者和探索者，让学生处在一种对知识的追求状态中。特别注重学生在课外研究性学习的开展（这是课内传统教学模式的有益补充）。

圆锥曲线统一定义很简单但非常重要，学习时指导学生注意和抛物线定义相联系。由抛物线定义导入新课，将比值1改变，曲线会是什么形状？学生先猜想，后从形和数两个方面进行验证。从猜想——观察——验证——归纳这一过程中，学生获取了知识，而且加深了理解。通过例题对知识进行运用，巩固了所学知识。通过一题多解，一题多变，使学生产生了学习兴趣。

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教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。

总体来说，这堂课的效果不错，但是由于之前课堂上对准线和图像的关系强调得不够，学生画图时仍然存在一定的问题，下堂课需要强化这一点。其次，学生的学习能力有待加强。从课堂的效果来看学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟学生讲解，然后让学生练习总结。在今后的教学中，可以多尝试让学生使用多媒体进行猜想结论的验证。

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