1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀公开课教案

编号：选修2-1-007

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

含有一个量词的命题的否定

[学习目标]

1.理解全称命题、特称命题与其否定的关系(重点)．

2.能正确对含有一个量词的命题进行否定(重点、难点)．

[知识提炼·梳理] 1．含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p ∀x∈M，p(x)

¬p ∃x0∈M，¬p(x0)

结论

全称命题的否定

是特称命题

2.含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p ∃x0∈M，p(x0)

温馨提示

对全称命题与特称命题关系的认识

1．结构关系的认识．

全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外．而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，

两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

2．真假性的认识．

全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命题的否定与特称命题的真假性相反．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有些全称命题的否定不是特称命题．(

) (2)全称命题与其否定真假性相同，特称命题与其否定真假性相反．(

) (3)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则¬p：∃x0∈R，sin x＞1.(

) (4)命题p：∀x∈R，sin x≤1为全称命题，且为真命题．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

1 ¬p ∀x∈M，¬p(x)

结论

特称命题的否定

是全称命题

编号：选修2-1-007

班级：

学号：

姓名：

2．“都是的”否定是(

) A．都不是

B．不都是

C．不是

D．其它

答案：B 3．“至多两个”的否定是(

) A．至少两个

B．至少有三个

C．有两个

D．有三个

答案：B 4．命题“任意向量与零向量共线”的否定为______．

解析：命题“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题；“有的向量与零向量不共线”．答案：有的向量与零向量不共线

25．命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋4＜0的否定¬p：________．

解析：特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，¬p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案：∀x∈R，x2＋2x＋4≥0

类型1

全称命题的否定

[典例1]

写出下命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．

(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．

(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 归纳升华

1．全称命题的否定方法．

(1)改变量词：把“全称量词”换为恰当的“存在量词”．

(2)否定性质：把原命题中的“是”“成立”等更改为“不是”“不成立”等．

2．常用全称量词的否定形式．

词语

词语的否定

每一个

存在一个

所有的

有的

2 一个也没有

至少有一个

任意

存在

编号：选修2-1-007

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

[变式训练]

写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解：(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

(2)¬p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(3)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3. 类型2

特称命题的否定

[典例2]

写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

解析：(1)¬p：∀x＞1.x2－2x－3≠0.(假)

(2)¬p：所有素数都不是奇数．(假)

(3)¬p：所有平行四边形都是矩形．(假)

答案：(1)假命题

(2)假命题

(3)假命题

归纳升华

1．特称命题的否定：分两步．

(1)改变量词：把“存在量词”换为恰当的“全称量词”；

(2)否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．

2．常用存在量词的否定形式．

词语

词语的否定

词语

词语的否定

存在一个

每一个

至少有n个

至多有n－1个

有的

所有的

至多有一个

至少有两个

必有一个

一个也没有

存在

任意

[变式训练]

写出下列特称命题的否定：

(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有一个素数含三个正因数．

3

编号：选修2-1-007

班级：

学号：

姓名：

解：(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0.

(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形．

(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数．

类型3

特称命题、全称命题的综合应用

(巧思妙解) [典例3]

已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

[常规解答]

由题意，

知p真或q真．当p是真命题时，m＜0；当q是真命题时，Δ＝m2－4＜0，得－2＜m＜2.因此，当p∨q为真命题时，m＜0或－2＜m＜2，即m＜2.

[巧妙解答]

若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，此时m需满足m≥0，

即m≥2.因为p∨q与¬(p∨q)真假性互异，所以当p∨q为真m≤－2或m≥2，命题时，m＜2.

归纳升华

1．数学思想方法是数学解题的灵魂，不同的思考角度会带来不同的解题方法．

2．常规解答是分类讨论思想的体现，巧妙解答是建立在等价转化思想的基础上的．

[类题尝试]

已知a＞0，设p：函数y＝ax在R上单调递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

[常规解答]

若p为真命题，则y＝ax在R上单调递增，所以a＞1；

若q为真命题，则不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立，

所以Δ＜0，即a2－4a＜0，所以0＜a＜4.①

而命题p∧q为假，p∨q为真，则p、q中一个为真，一个为假．

(1)若p真，q假，则a≥4；

(2)若p假，q真，则0＜a≤1.

所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．

[巧妙解答]

由①得：p：a＞1，q：0＜a＜4，所以p∧q：1＜a＜4，p∨q：

4

编号：选修2-1-007

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

a＞0.

因为p∧q为假，所以a≤1或a≥4.

因为p∨q为真，所以a＞0.将其表示在数轴上，如图．

由数轴知：a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．

含有一个量词的命题的否定的方法如下：

1．确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

2．改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词，把存在量词改为恰当的全称量词．

3．否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

4．无量词的全称命题要先补回量词再否定．

A级

基础巩固

一、选择题

1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为(

) A．所有实数的平方都不是正数

B．有的实数的平方是正数

C．至少有一个实数的平方不是正数

D．至少有一个实数的平方是正数

解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案：C 2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为(

) A．¬p：存在x∈R，x＜sin x

B．¬p：任意x∈R，x≤sin x

C．¬p：存在x∈R，x≤sin x

D．¬p：任意x∈R，x＜sin x

答案：C 3．下列命题的否定为假命题的是(

)

5

编号：选修2-1-007

班级：

学号：

姓名：

A．∀x∈R，－x2＋x－1＜0

B．∀x∈R，|x|＞x

C．∀x，y∈Z，2x－5y≠12

D．∃x0∈R，sin2x0＋sin x0＋1＝0 解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余均为假命题．答案：A 14．已知命题p：任意的x∈R，2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sin x2－cos x＝2，则下列判断正确的是(

) A．p是真命题

C．¬p是假命题

B．q是假命题

D．¬q是假命题

11解析：在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故为假命题；在命题q22中，当x＝3π时，命题成立，故为真命题，¬q是假命题．

4答案：D 5．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：∃x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是(

) A．¬q是假命题

C．¬p是假命题

答案：A 二、填空题

6．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3 ≤0，则¬p为________．

答案：∀x∈R，x2－3x＋3＞0 7．已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．

解析：p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0”为真，

所以Δ＝4a2－4a＜0，所以0＜a＜1.

答案：(0，1)

8．下列命题的“否定”命题中，是全称命题且为真命题的是________(填序号)．

B．q假命题

D．p是真命题

6

编号：选修2-1-007

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 答案：(3) 三、解答题

9．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解：由已知得綈p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

f（1）≤0，1＋2a＋2－a≤0，则所以

f（2）≤0，4＋4a＋2－a≤0，解得a≤－3，

因为¬p为假，所以a＞－3，

即a的取值范围是(－3，＋∞)．

10．已知命题p：∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q: ∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，¬q是真命题，求a的取值范围．

解：根据p或q是真命题，¬q是真命题，得p是真命题，q是假命题．

因为m∈[－1，1]，所以

m2＋8∈[22，3]，

m2＋8，

因为∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥

所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.

故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.

又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，

所以Δ＝a2－8＞0，所以a＞22或a＜－22，

从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，

所以命题p为真命题，q为假命题时，

a的取值范围为－22≤a≤－1. B级

能力提升

7

编号：选修2-1-007

班级：

学号：

姓名：

a1．已知命题p：“a＝1”是“∀x＞0，x＋x≥2”的充要条件，命题q：∃x0∈R，x2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是(

) A．命题“p∧q”是真命题；

B．命题“p∧¬q”是真命题；

C．命题“¬p∧q”是真命题；

D．命题“¬p∨¬q”是假命题．

答案：C 2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则¬p为________．

解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．

“∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．

答案：∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1

3．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题．求实数a的取值范围．

解：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1＜0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．

由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)

8