3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析

空间向量的正交分解与坐标表示教学设计

1.

教学目标

1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.

教学重点/难点 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

难点：理解空间向量基本定理；

3.

教学用具 多媒体设备

4.

教学过程设计

（一）.复习引入

（1）、共线向量定理：

（2）、共面向量定理：

（3）、平面向量基本定理：

（4）、平面向量的正交分解：

（二）、新课探究：

探究一.空间向量基本定理

2、

空间向量基本定理

3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确

（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

4、应用举例析：

例.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？

解

∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．

假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，

使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.

从而由共面向量定理知，c与a，b共面．

这与a、b、c不共面矛盾．

∴a＋b，a－b，c不共面．

【反思感悟】

解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．

探究二.空间向量的正交分解及坐标表示

1. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

2. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝xi＋yj＋zk.

（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）

【反思感悟】

利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．

5.课堂小结

：

师生共同回忆本节的学习内容: (1)、空间向量基本定理；

(2)、空间向量的正交分解与坐标表示；

强调以下两个注意点：

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．

2．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0. 6.课后作业：课后练习、课后习题