阅读与思考 向量概念的推广与应用教案1

《向量概念的推广与应用》教学设计

武汉市第二十六中学

郭亚玲

【教学目标】

类比几何向量得到n维向量的概念、运算及应用，理解从二维向量到n维向量之间纵向的联系，通过实例体会向量与统计不同知识点之间横向联系；

掌握应用向量解决具体问题的一般方法和步骤，在建模过程中培养学生的数学抽象、直观想象，逻辑推理、数学运算，数学模型、数据分析等数学核心素养，培养分析问题，解决问题的能力；

在探究和建模过程中体会数形结合、化归与转化、特殊与一般的数学思想. 【重难点】

重点：理解向量概念的推广，掌握向量的应用，熟悉数学建模过程. 难点：向量的应用，确定实际问题中的维度和选取适合的向量特征. 【教学方法】

类比探究、启发式

【信息技术】

微课、视频、GeoGebra数学软件；平板

【教学过程】

课前准备：

学生欣赏微课《数学之美》. <设计意图>

通过欣赏对不同情境中数学模型的提炼视频，让学生感受数学可以发现事物内在规律和本质，初步培养建模的意识.为课堂引入问题：“网页新闻如何分类？”作准备.

课堂教学：

活动一、复习导入

复习几何向量（平面向量、空间向量）的坐标表示及运算。回顾平面向量的应用. 师：平面向量有哪些应用？

生：我们用向量法研究平面几何问题、解析几何问题，证明平行垂直等位置关系，计算长度、距离、夹角、面积等

师：今天我们继续进一步地学习向量的应用. <设计意图>

章建跃先生说：“在引导学生回忆已有知识的过程中，引起知识之间的联结，以利于形成新的猜想.”通过复习已有的知识及不同知识之间的联系导入，了解研究问题的背景，引发学生探究新知的兴趣.

活动二、探究新知

1、提出问题：“网页新闻如何分类？”

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师：网页的新闻是自动分类和整理的.计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算.这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性.我们可以用一组数字来描述一篇新闻吗？

生：一组有序数组即坐标（向量）. 师：需要几个数来描述呢？

生：不确定，也许很多，与新闻的篇幅有关. 师：几何向量行吗？

生：不够！

师：这就和我们今天学的课题有关，我们先来认识一个词：维度. <设计意图>个人情境最接近学生，网页浏览是学生熟悉的情境，提出新闻分类问题作为本节课的主线贯穿始终，带着这个问题我们逐步探究n维向量概念的推广、应用，最后回到这个问题解决它。经历从具体问题抽象出数学问题的过程.

2、认知维度

师：你知道什么是维度吗？阅读以下材料，回答问题：

材料一：学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维度，结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画。——《普通高中数学课程标准（2017年核心素养版）》

材料二：视频《尝试从三维认识四维》

材料三：图片欣赏电影《星际穿越》截图

问题:关于维度，以下说法正确的是（

）

A.维度是数学中独立参数的数目，在物理学和哲学的领域内，维度指独立的时空坐标的数目. B.用一组数来描述一个点的位置，而这一组数我们称之为坐标，而维度就是坐标中数的个数. 如一维坐标x ,二维坐标

(x,y)，三维坐标

(x,y,z). C.维度是事物“有联系”的抽象概念的数量。人们观察、思考与表述某事物的“思维角度”，简称“维度”。例如，人们观察与思考“月亮”这个事物，可以从月亮的“内容、时间、空间”三个思维角度去描述；也可以从月亮的“载体、能量、信息”三个思维角度去描述. D.以上说法都对. 学生在平板上答题，教师在白板上统计学生答题的情况并作简要分析. <设计意图>章建跃先生说：“概念教学遵循从具体到抽象的原则，采取归纳式，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动，在概念的系统中学习概念，是学生有机会从不同角度认识概念，建立概念的多元联系表示”，2

这不仅便于发挥知识的结构功能使概念具有生长活力，有益于知识的获得、保持和应用，而且对发展学生的概括能力有特殊意义.”在实际应用建模过程中，学生容易混淆向量的个数和维度这两个概念，导致向量的应用出错.本处从文字、电影截图、微课视频多角度以材料形式展现给学生，让他们自己阅读材料，感知维度，通过问题辨析，提炼数学中维度概念，为后面的实例中准确建模作准备.统计结果的展示让概念理解有偏差的同学及时发现和纠正.

3、类比几何向量，归纳n维向量的概念、坐标表示及运算

师：类比几何向量，结合你对维度的理解，请给出n维向量的定义. 生：一般地，

元有序实数组

称为

维向量. 教师引导和补充：

师：它是几何向量的推广，

维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做

维欧氏空间.它的每一个元素可看成

维向量空间的一点.

师：下面我们来看看怎样找一组数字（向量）来描述一篇新闻.对于一篇新闻中的所有实词，我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值（TF/IDF).不难想象，和新闻主题有关的那些实词频率

高，TF/IDF 值很大.我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的

TF/IDF 值排序.比如，词汇表有六万四千个词，这

64,000 个词的

TF/IDF 值分别为：

如果单词表中的某个次在新闻中没有出现，对应的值为零，那么这

64,000 个数，组成一个64,000维的向量.我们就用这个向量来代表这篇新闻，并成为新闻的特征向量.如果两篇新闻的特征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类，反之亦然.

师：找什么量来衡量新闻相似性呢？我们先看看n维向量有哪些运算？

生：类比几何向量，n维向量有以下运算：

师：

为

维向量空间两点

,

的“距离”

师：要解决新闻分类中相似性的衡量，我们先看看向量应用的几个具体实例. 3

<设计意图>在探究问题的过程中由研究需要将向量的概念进行推广，由研究问题的先后顺序依次推广定义和运算.体会类比，由特殊到一般的数学思想.

活动三、应用新知——n维向量的应用

1、销售决策——线性运算的应用

师：构造几维向量？有几个向量？选择哪种向量运算解决问题？

生：12维，5个向量，加法和数乘. 师：数据较多，我们分小组一起合作完成以上计算. 请一个同学上来板书. 学生分工完成任务，教师指导板书，点评，展示标准解题步骤；学生分析得到结论.

2、生物类别归属——模、距离的应用

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学生口述建模过程，教师演示解题步骤：

师：这里“距离”也反映出待判断的鸟的体长和翅长的数据距离燕隼或红隼的平均体长和翅长的数据的波动情况，与统计中的方差、标准差有着类似意义.

3、成绩预测——夹角、数量积的应用

教师用GeoGebra演示两个向量的运动过程，学生体会两个向量的相关性与向量夹角的关系.

学生分析三种不同情况的相关性.

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教师补充，向量与统计中相关系数r的关系，学生解释r的性质的向量原理，建立知识点之间的横向联系.

回到新闻分类问题，在例3的背景下，新闻分类问题已经迎刃而解.

<设计意图>从生产生活、生物、学习等与学生密切联系的情境出发，展现出向量在各个领域内的应用，让学生体会向量运算工具的强大。三个实例从线性运算到模、距离再到夹角、数量积的应用，按照运算等级的高低，呈阶梯上升编排，让学生由易到难解决问题。在知识点与知识点之间建立联系，向量中距离、夹角余弦值分别与统计中变量方差形成知识的横向联系.让学生经历数学抽象、直观想象，逻辑推理、数学运算，数学建模、数据分析的过程.

活动四、归纳小结

1、知识点归纳小结

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2、建模过程小结

3、模型再应用

<设计意图>

史宁中先生说：“数学核心素养的本质大体可以归纳为：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.”通过四个实例让学生经历数学建模的过程，归纳得到研究此类问题一般方法，形成规范步骤，再由一般到特殊，归纳出向量研究立体几何问题的一般步骤，为下一节的学习打下基础.

活动五、拓展提高

作业：1、用向量推导柯西不等式，交流展示2、微课：《维度：数学漫步》

<设计意图>增加学生数学建模的兴趣，增强学生应用数学建模的意识，给学生留下拓展的空间，激发他们继续探索的兴趣与信心。

【板书设计】

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