3.1.2 导数的概念国家优质课一等奖

开平市开侨中学高二文科数学导学提纲

选修1-1 第三章3.1.2 3.1.2导数的概念

编制人：梁艳芳

【学习要求】

1．理解并掌握平均变化率的概念．会求函数在指定区间上的平均变化率．

2．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

3．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．

4．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．

5．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝

，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝

，则当Δx≠0时，商f(x0x)f(x0)＝____叫做函数yx＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的

．

2．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为

．

设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0s(t0t)s(t0)Δs＋Δt这段时间内的平均变化率，当Δt→0时的极限，即v＝lim

＝ΔttΔt→0__________________ 3．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0Δy＝_________________. Δx4．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称Δy它为函数y＝f(x)在x＝x0处的

，记为

，即f′(x0)＝lim

＝________________ ΔxΔx→05．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)

．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的

．

记为

或y′(或y′x

)．导函数通常简称为

【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．

探究点一

函数的平均变化率

问题1

如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

问题2

什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1

某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

问题3

平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1

如图是函数y＝f(x)的图象，则：

（1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

（2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

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选修1-1 第三章3.1.2 探究点二

瞬时速度

问题1

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？

问题2

物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？

问题3

如何描述物体在某一时刻的运动状态？

跟踪训练2

质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．

探究点三

导

数

问题1

从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？

问题2

导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？

问题3

导函数和函数在一点处的导数有什么关系？

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选修1-1 第三章3.1.2 例3

利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．

跟踪训练3

已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．

探究点四

导数的实际应用

例4

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如0果在第xh时，原油的温度(单位：C)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

【当堂检测】

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx (

) A．大于0

B．小于0

C．等于0

D．不等于0 12．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是

(

) 2A．at0

1

B．－at0

C．at0

2D．2at0

33．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是

(

) 2

B．－3

C．2

14．已知函数f(x)＝，则f(1)＝________ x5．设f34,则limh0A．3

D．－2 f3hf3为（

）

2h

A．－１

B．－2 C．－3 D．1

【教学反思】