最简三角方程多媒体教案及点评

课题：6.5最简三角方程（1）

最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用．其学习要求是在理解三角方程意义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程．同时，解三角方程需要用到较多的三教学内容分析

角、代数知识，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力．此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集．

已知：三角函数线、三角函数图像性质、用反三角函数形式表示角；

能知：通过三角函数图像或单位圆中三角函数线的知识寻找三角方程的解；

存在问题:部分同学对用反三角函数表示角有些一知半解，数学符号形式化能力不足，学习中不重视理解知识的生成过程，倾向于死记硬背一些公式，5班学生学情分析

学习的热情很高但不够踏实，应用的变式和迁移能力薄弱，存在叙述不够规范、代数演绎推理不够严谨等特点，因此课堂上既要鼓励他们“火热的讨论”，又要让他们能“冰冷的思考”，在真正理解三角方程解集的知识本质及正确写出三角方程解集上要多花功夫。

（1）理解三角方程、最简三角方程的定义以及三角方程的解集的概念；

（2）能利用三角函数的图像获得最简三角方程的解集，并能解一些简单的三角教学目标设计

方程；

（3）领会函数与方程思想，体会由特殊到一般的研究问题的方法，

进一步培养学生的抽象概括能力。

教学重点

教学难点

最简三角方程的解集

探索并归纳出最简三角方程的解集．

启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为教学方法

主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，结合多媒体，充分调动学生学习的积极性，课堂互动讨论，体现学生的自主式学习。

教学过程

教学思考

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问题再现：

练习册第18页第5题，许多同学当时都出现了错解或者漏解的情况，那么在学习了三角函数的图像性质以及反三角函情景引入

数概念后，对此类问题我们能否提出问题

有更全面深入的认识呢？

今天我们就来探讨这个问题.

从学生已知的知识、学习中存在的问题出发，提出新问题，学习新方法. 刚才的两个问题有一个结构上的共性，即含有未知量x的三角等式，这就是我们今天要研究的内容. 1、三角方程的定义：把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

2、三角方程解集的概念：把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集。

3、最简三角方程的定义：在三角方程中，形如sinxa，cosxa，tanxa的方程叫做最简三角方程。

1的解集：

2513)内的解是x和x方程sinx在区间[,。考虑到正662221弦函数的最小正周期为2，所以sinx的解集为25{x|x2k或x2k,kZ}。

66例1—1：求三角方程sinx探索发现

呈现规律

也可以在单位圆中进行研究。如图所示：在平面直角坐标系中，作直线y1，与单位圆分别交于P1，P2两点，可见，x的终边在第一、二象2限，共2条，则OP1，OP2就是角x的终边，5与，这两条终边可表示为665x12k，x22k（kZ），6615所以sinx的解集为{x|x2k或x2k,kZ}。

266分别为

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例1-2：求三角方程sinx解：原方程的解集为

1的解集. 311{x|x2karcsin或x2karcsin,kZ}。

331思考：sinx的解集可用更简洁的形式: 31{x|xk(1)karcsin,kZ}来表示。

3注：对于特殊角的正弦值方程的解集或在给定的区间内确定方程的解集，用前一种表示法更方便，而对于非特殊角的正弦值方程的解集，用后一种形式更简洁。

例1-3：求三角方程sinxa的解集。

解：①当|a|1时，函数ysinx与ya的图像无交点，方程无解，即解集为；

②当a1时，解集为{x|x2k紧扣学生知识的“最近发展区”，

精心设计问题，引导学生自主探索，充分活动思考，在直接体验中建构自己的知识体系，发挥自主精神，充分感受“观察、发现、归纳、猜想”及“从特殊到一般”的数学思想. 2,kZ}；

当a1时，解集为{x|x2k③当|a|1时，方程的解集为

探索发现

呈现规律

2,kZ}；

{x|x2karcsina或x2karcsina,kZ}，即

{x|xk(1)karcsina,kZ}。

综上，当|a|1时，解集为；

当|a|1时，解集为{x|x2karcsina,kZ}；

当|a|1时，解集为{x|xk(1)arcsina,kZ}. 注：借助几何画板软件，从三角函数图像和单位圆的角的终边位置两个视角进行分析归纳，深化数形结合思想和函数思想，促进学生对知识本质的理解，以期达到最佳学习效果。

例2.求三角方程cosxa的解集. 解：当|a|1时，解集为；

当|a|1时，解集为{x|x2karccosa,kZ}；

当|a|1时，解集为{x|x2karccosa,kZ}。

例3.求三角方程tanxa的解集. 解：方程的解集为{x|xkarctana,kZ}。

k

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最简三角方程的解集列表如下：

方程

方程的解集

|a|1

sinxa

建构体系

归纳分析



发挥学生的主体作用，从特殊到一般的角度总结归纳三角方程解集的情况，培养发展和创造意识，使他们能在再创造的氛围中学习.

|a|1

|a|1

|a|1

{x|x2karcsina,kZ}

{x|xk(1)arcsina,kZ}

k

cosxa

|a|1

{x|x2karccosa,kZ}

|a|1

tanxa（aR）

{x|x2karccosa,kZ}

{x|xkarctana,kZ}

注：1、强调方程sinxa，cosxa有解时a的范围。

2、辨析tanxa的解集中的k是正切函数的周期，表示所有的解都相差的整数倍，而sinxa的解集中的k是一种合并之后的写法，表示的是奇数集与偶数集的并集整数集，两者的意义不同。

1、求下列方程的解集：

在变式问题的解决过程中夯实概念，巩固新知.

通过探讨让学生进一步理解本节课研究问题的基本方法，提高转化与化归的能力

123（1）sinx；

（2）cosx；

（3）tanx；

2232解：（1）sinxxk(1)k()k(1)k（kZ）

244k,kZ}；

故原方程的解集为{x|xk(1)41（2）cosxx2k

23故原方程的解集为{x|x2k,kZ}；

33（3）

tanxxk实战训练

36技能理解

故原方程的解集为{x|xkkZ}；

62进阶练习：（:1）5sinx30；（2）5cosx5；（3）2tanx10。

33xk(1)karcsin()

553k,kZ}；

故原方程的解集为{x|xk(1)arcsin555x2karccos()，

（2）5cosx5cosx55故原方程的解集为{x|x2k,kZ}；

4（1）5sinx30sinx

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12

（3）2tanx10tanxtanx

2222当tanx时，xkarctan（kZ）；

2222当tanx时，xk（kZ）

222故原方程的解集为{x|xkarctan,kZ}。

222

回归问题再现，前后呼应，进一步解决情境相同但更复杂的问题，促进学生理解新知，应用新知.

变式练习、求下列方程的解集：

（1）tanx=3,x2,；

（2）2sin2x=3,x0,2

解：（1）xk3,x2,,取k1,0,1，

42，

,,33342,,}

故原方程的解集为{333

对应的x32xk(1)k，x0,2

2374,

取k0,1,2,3，对应的x,,，

636374,}

故原方程的解集为{,,6363（2）2sin2x=3sin2x

1在区间[-2015,-2013]上的解；21(2)分别求方程cosx在下列区间上的所有解的和：2拓展思考

(Ⅰ)[2,2];(Ⅱ)[2015,2013]。

(1)求方程cosx（本内容视教学情况机动处理）

小结与作业

本节课我们利用了数形结合、函数与方程、分类讨论、类比和转化等思想研究了三角方程的解的问题，获得了三角方程的解集。解三角方程在解斜三角形以及知值求角等问题中都有较多的应用。在探索三角方程解集的过归纳小结

程中我们运用了函数的图像以及三角函数线，前者是先求出它在长度为一个周期的区间上的特解，再根据三角函数的周期性，求出方程在实数集上的通解，这也是我们研究周期函数性质的一般方法；后者是找出满足条件的所有角的终边，从而写出方程的解集。

巩固练习

课本练习6.5（1）1,2,3（视具体情况弹性处理）

启发思维，深化知识本质、数形结合、函数思想方法的理解

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作业布置

《练习册》习题6.5A组1,2,3；

教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

本节课紧扣学生的已知、立足于学生的可知，直入学生的能知，以问题为驱动，引导学生积极思考，共同探讨，从解方程sinx1到解方程sinxa，从选择正弦函数ysinx的长度为一个2周期内进行研究到利用单位圆研究，问题步步深入，思路逐渐打开．问题情景创设既注重面向全体学生，又兼顾个性化处理，使每一个学生积极参与思维活动，既没有超出学生的认识范围，又使学生能够通过探索接受新的知识，使得学生新知识掌握水到渠成．

本节课对解简单三角方程作了方法指导，对于同一个三角方程，由于解法不同，得到的解集的形式可能不同，如何检验两个不同形式的解是否等价是关键，并有较大难度的问题拓展，以满足不同层次学生的需求，积极发挥课堂教学的基础型、拓展型和研究型功能，以培养学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力．

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