正弦定理、余弦定理和解斜三角形ppt配套的教学设计方案

正弦定理

复旦大学附属中学 张晴帆

1.教学目标

1.1掌握正弦定理，理解其推导过程，并能初步运用正弦定理解三角形. 1.2从已有的知识出发，探究在任意三角形中，三角形的边长与其对角正弦之比之间的关系，感悟数学定理的形成过程. 1.3通过对三角形边角关系的探究活动，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认知规律，进一步养成化未知为已知的解决问题的能力及归纳、猜想、论证的数学能力. 2.教学重点与难点

2.1正弦定理的探索发现及其初步应用；

2.2正弦定理的证明. 3.教学设计

3.1课题引入

我们把三角形的三条边，三个角，称为三角形的六个元素；把已知三角形的某些元素，求其他的元素的过程，叫做解三角形. 【问题1】已知ABC中，已知B30,C45,c4，求：b. 过点A作直线BC的垂线交BC于点D，

bAc30°在RtACD中，ADbsinC，又在RtABD中，ADcsinB， C45°DaB∴由bsinCcsinB得b22. 【问题2】已知ABC中，试求B,C,b,c间的等式关系. 过点A作直线BC的垂线交BC于点D，

在RtACD中，ADbsinC，

又在RtABD中，ADcsinB， ∴bsinCcsinB

3.2正弦定理的猜想与验证

【问题3】在任意ABC中，都有bsinCcsinB成立吗？

C

b

D

a

A

c

B

AcbcAbcbABaDCBaC(D)BaCD

【问题4】在ABC中，除bsinCcsinB之外是否有其他的等式关系呢？

bsinCcsinB，asinBbsinA，csinAasinC，即abc. sinAsinBsinC【正弦定理】在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：

abc. sinAsinBsinC3.3溯本求源

古印度数学家将圆心角所对应的弦长的一半与半径的比值称为圆AaBOC心角的一半的正弦，即2sin. R2若A0,OBOCaaAnsiA2R. ，则，∴，即22RnsiA2a2R吗？如何证明？

sinABaDC【问题5】在任意ABC中，都有不妨设A0,a2R，

，则sinA2abc2R，

sinAsinBsinC由正弦定理知，又∵B,C为ABC中任意内角，

∴任意ABC中，都有a2R都成立. sinAabc2R.

sinAsinBsinC【正弦定理】在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，比值为其外接圆的直径.即

3.4例题讲解

【例1】在ABC中，A解：CAB3,B4,b2,求a,c,C. bACa5，

12abc由正弦定理知， sinAsinBsinCcB

∴absinAsinB2362226，cbsinC431. sinB2222【例2】在ABC中，分别根据下列条件解三角形. （1）a2，b2，B6；

解：由正弦定理abcasinB2知，

sinA，

sinAsinBsinCb23. 447bsinC31；

当A时，CAB，c412sinB3bsinC31. 当A时，CAB，c412sinB又∵0A，∴A或（2）a2，b解：由正弦定理2，A4；

abcbsinA1，

知，

sinBsinAsinBsinCa2又∵ba，∴0BA∴CAB2

∴B6. 7asinC31. ，c12sinA【问题6】已知三角形的两边和其中一边的对角，所解得三角形的个数可能是多少？

如何判断？（在△ABC中，已知A,a,b，求B的个数）. 若A为钝角，则B至多一个解；

若A为锐角，则sinBbsinA：当absinA时，B有且只有一解；

a当bsinAab时，B有两解；当ab时，B有且只有一解. 3.5回顾总结

4.教学设计说明

《正弦定理》这节课是解斜三角形这一节内容的起始课，而解斜三角形是高中数学课程中非常重要的章节之一.一方面是对于前面学过的任意角的三角比的应用，另一方面为后续高中的学习作铺垫准备.通过三角形的边角关系作量化探究，发现并证明正弦定理这一重要的工具，解决三角形中简单的度量问题.教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力.