小结课堂实录

§1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．

3．含有一个量词的命题的否定

1．判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题． n

n

(

×

) (

×

) (

√

) (

×

) (

√

) (2)已知命题p：∃n0∈N,

20>1 000，则綈p：∃n∈N,

20≤1 000.

(3)命题p和綈p不可能都是真命题．

(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．

(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．

2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是(

)

A．p∧q

B．綈p∧q

D．綈p∧綈q

C．p∨綈q

答案

B 解析

p是假命题，q是真命题，

∴綈p∧q是真命题．

3．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为

A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．存在x0∈R，使得x20<0 答案

D 解析

因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

(

)

(

) A．(綈p)∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q)

答案

A B. p∨(綈q) D．p∨q

解析

“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)∨(綈q)．

5．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

答案

[－4,0]

解析

“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，

∴－4≤m≤0.

题型一

含有逻辑联结词命题的真假判断

ππ2x－的图象；命例1

命题p：将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin33ππx＋cos－x的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真题q：函数y＝sin63命题的个数是

A．1

(

) B．2

C．3

D．0

思维启迪

先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p∨q、p∧q、綈p的真假．

答案

B π解析

函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位后，

3x－π＝sin2x－2π，

所得函数为y＝sin233∴命题p是假命题．

ππx＋cos－x

又y＝sin63πππx＋cos－x＋6

＝sin62π11πx＋＝－cos2x＋，

＝sin236222π∴其最小正周期为T＝＝π，

2∴命题q真．

由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真．

思维升华

“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假．

(1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x1－的单调递增区间是[1，＋∞)，则 xA．p∧q是真命题

C．綈p是真命题

(

) B．p∨q是假命题

D．綈q是真命题

(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．

答案

(1)D

(2)必要不充分

解析

(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，

所以p是真命题；

1因为函数y＝x－的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，

x所以q是假命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D. (2)若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．

若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，

因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．

题型二

全(特)称命题的否定

例2

写出下列命题的否定，并判断其真假：

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0. 思维启迪

否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

1解

(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋<0，假命题．

4(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

思维升华

(1)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．

②对原命题的结论进行否定．

(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(1)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是(

) A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 (2)命题“存在实数x，使x>1”的否定是

．．A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x

，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 答案

(1)C

(2)C 解析

(1)綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. 题型三

逻辑联结词与命题真假的应用

例3

(1)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为

A．m≥2

(

)

(

) B．m≤－2 D．－2≤m≤2 C．m≤－2或m≥2

(2)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

思维启迪

利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．

答案

(1)A

(2)[e,4]

解析

(1)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得m≥0，即m≥2. m≤－2或m≥2

(2)若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 思维升华

以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是

A．{a|a≤－2或a＝1}

C．{a|a≤－2或1≤a≤2}

B．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}

(

) (2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案

(1)A

(2)[－22，22] 解析

(1)由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，

∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1. (2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤22.

借助逻辑联结词求解参数范围

典例：(12分)已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx1，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

＋1在2思维启迪

(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．

规范解答

解

∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：00且c≠1，∴綈p：c>1.[3分]

11，＋∞上为增函数，∴c≤. 又∵f(x)＝x2－2cx＋1在2211即q：00且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.[5分]

22

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．[6分]

①当p真，q假时，

11{c|02且c≠1＝c|2

1②当p假，q真时，{c|c>1}∩c|0

1综上所述，实数c的取值范围是c|2



第一步：求命题p、q对应的参数的范围．

第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．

第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题

“p且q”或“p或q”．

第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

温馨提醒

解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．

答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.

方法与技巧

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

失误与防范

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

A组

专项基础训练

一、选择题

ππ1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对22称．则下列判断正确的是

A．p为真

C．p∧q为假

答案

C 解析

p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

2．(2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A．綈p：∀x∈A,2x∈B

C．綈p：∃x∉A,2x∈B

答案

D 解析

命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. 3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

(

)

B．綈p：∀x∉A,2x∉B

D．綈p：∃x∈A,2x∉B

(

) B．綈q为假

D．p∨q为真

A．綈p∨q

C．綈p∧綈q

答案

D B．p∧q

D．綈p∨綈q

解析

不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．

4．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．

则下面选项中真命题是

A．綈p∧綈q

C．綈p∨q

答案

B 解析

对于命题p，如图所示，作出函数y＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即当a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题．

对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充要条件，故命题q为假命题．

∴命题綈p为假，綈q为真，故綈p∨綈q为真．

5．下列命题中，真命题是

(

)

(

) B．綈p∨綈q

D．p∧q

π0，，sin x0＋cos x0≥2 A．∃x0∈2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x0∈R，x20＋x0＝－1 πD．∀x∈2，π，tan x>sin x

答案

B 解析

对于选项A，

ππ0，，sin x＋cos x＝2sinx＋≤2，

∀x∈24∴此命题为假命题；

对于选项B，当x∈(3，＋∞)时，x2－2x－1＝(x－1)2－2>0，

∴此命题为真命题；

13x＋2＋>0，

对于选项C，∀x∈R，x2＋x＋1＝24∴此命题为假命题；

π对于选项D，当x∈2，π时，tan x<0

∴此命题为假命题．故选B. 6．下列结论正确的个数是

(

) 2①命题p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定为綈p：“∀x∈R，x－2<0”；

②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；

2M2N③“M>N”是“3>3”的充分不必要条件．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

C 解析

对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p是綈q的充分条件，②2M2N正确；对于③，由M>N不能得到3>3，因此③是错误的．故选C. 二、填空题

b7．若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(xa－b)<0的解集是{x|a

答案

綈p、綈q

解析

依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．

8．下列结论：

①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命

题；

a②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

b③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案

①③

解析

①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧綈q为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确．所以正确结论的序号为①③. 9．写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；

(2)r：有些质数是奇数；

(3)s：∃x0∈R，|x0|>0.

解

(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．

(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．

(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．

111，2时，函数f(x)＝x＋>10．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈2xc恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

解

由命题p为真知，0

15由命题q为真知，2≤x＋≤，

x211要使此式恒成立，需<2，即c>，

c2若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

1当p真q假时，c的取值范围是0

2当p假q真时，c的取值范围是c≥1. 1综上可知，c的取值范围是c|0

B组

专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

1．下列命题中的假命题是

A．∀x∈R,2x1>0 －

(

) B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1

D．∃x∈R，tan x＝2 答案

B 解析

A正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；

对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；

对于D，∃x∈R，tan x＝2，正确．

2．

“命题‘∃x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的

A．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(

) C．充分不必要条件

答案

A 解析

因为“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，

所以“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．

所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0. 所以“命题‘∃x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．

3．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的＋取值范围是__________．

答案

(－∞，1] 解析

若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1. 4．设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．

10，∪[1，＋∞) 答案

2解析

根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0

对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．

当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；

当a≠0时，不等式恒成立的条件是

a>0，1，解得a≥. 22Δ＝－1－4a×a≤0

1所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．

2由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，

11当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0

221当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．

2

10，∪[1，＋∞)．

综上，a的取值范围是25．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

解

由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,

a∴x＝或x＝－a，

2a∴当命题p为真命题时2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2. ∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2. ∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．