1.2 充分条件与必要条件（通用）教案设计（一等奖）

1.2.1充分条件与必要条件

学习目标

1. 理解必要条件和充分条件的意义；

2. 能判断两个命题之间的关系.

学习过程

一、课前准备

复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.

2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.

二、新课导学

※

学习探究

探究任务：充分条件和必要条件的概念

问题：

1. 命题“若xa2b2，则x2ab”

（1）判断该命题的真假；

（2）写成“若p，则q”的形式，则

P：

q：

（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：

读成：

2. 1.命题“若ab0,则a0”

（1）判断该命题的真假；

（2）写成“若p，则q”的形式，则

P：

q：

（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：

读成：

新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p

通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作pq,并且说p是q的

,q是p的

试试：用符号“”与“”填空：

（1）

x2y2

xy；

（2）

内错角相等

两直线平行；

（3）

整数a能被6整除

a的个位数字为偶数；

（4）

acbc

ab.

典型例题

例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；

（2）若f(x)x，则f(x)在(,)上为增函数；

1

（3）若x为无理数，则x2为无理数.

练习：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若x5，则x10

例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若xy，则x2y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若ab，则acbc

练习：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若a5是无理数，则a是无理数；

（2）若(xa)(xb)0，则xa.

小结：

知识拓展

设A,B为两个集合,集合AB，那么xA是xB的

条件，xB是xA的

条件.

2

1.2.1充分条件与必要条件作业

1. 判断下列命题的真假. （1）x2是x24x40的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；

（3）sinsin是的充分条件；

（4）ab0是a0的充分条件. （5）“ab”是“a2b2”的充分条件；

（6）“|a||b|”是“a2b2”的必要条件.

2. 下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x1，q：x1x1；

（2）p：|x2|3，q：1x5；

（3）p：x2，q：x33x；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

3. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（

）. A.平行四边形对角线相等

B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

4.平面//平面的一个充分条件是（

）. A.存在一条直线a,a//,a//

B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a,b,a//,b//

D.存在两条异面直线a,b,a,b,a//,b//

5.(2013年高考四川卷)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使=成立的充分条件

3

是( ) (A)|a|=|b|且a∥b

(B)a=-b

(C)a∥b (D)a=2b

6.p:x20,q：(x2)(x3)0，p是q的

条件.

7. p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p

是q的

条件.

8. 从“”、“”中选出适当的符号填空：

（1）x1

x1；

（2）ab

11；

ab（3）a22abb20

ab；

（4）A

A.

9. 已知A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件? (2)如果BA,那么p是q的什么条件?

10.已知集合A=分条件,求实数m的取值范围.

4 ,B={x|x+m≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充2

1.2.2充要条件

学习目标

1. 理解充要条件的概念；

2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P11~ P12，找出疑惑之处）

复习1：什么是充分条件和必要条件?

复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?

二、新课导学

学习探究

探究任务一：充要条件概念

问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件?

新知：如果pq,那么p与q互为

⑴p是q的充分条件：__________________________________ ⑵p是q的必要条件：__________________________________

⑶p是q的充分不必要条件：____________________________

⑷p是q的充要条件：__________________________________

⑸p是q的必要不充分条件：____________________________

⑹p是q的既不充分也不必要条件：_________________________

试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？

（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a

与平面垂直.

反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.

5

※

典型例题

例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p: b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2) p: x0,y0,

q:xy0

(3) p: ab

，

q:acbc

练习：在下列各题中, p是q的什么条件? (1) p:x23x4

, q:x3x4

(2) p: x30,

q:(x3)(x4)0

(3) p: b24ac0(a0)

,

q:ax2bxc0(a0)

(4) p: x1是方程ax2bxc0的根

q:abc0

例2 已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:dr是直线l与O相切的充要条件.

例3设p：x28x200，q：x22x1m20(m0)，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

变式：“函数f(x)mx1

在R上是增函数”是“3m40”的 （ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

小结：

1.判断是否充要条件两种方法

（1）pq且qp；（2）原命题、逆命题均为真命题；

(3) 用逆否命题转化. 2.证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.

6

1.2.2充要条件作业

1. 下列命题为真命题的是（

）. A.ab是a2b2的充分条件

B.|a||b|是a2b2的充要条件

C.x21是x1的充分条件

D.是tantan

的充要条件

2.“xMN”是“xMN”的（

）. A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

23.“x-2x-3<0”是“x3”的

(

) A．充分不必要条件

B.必要不充分条件

C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.“x0”是“xy0”的

(

)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

5.“x1”是“11”的（ ）

xA. 充要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的（

）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

7.若a,b表示直线，表示平面，且b，则“a//b”是“a//”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

8.“函数f(x)mx1

在R上是增函数”是“3m40”的 （ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7

9.“k1”是“两直线kx3y20和(2k)xy70互相垂直”的（ ）

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 10.设p：b24ac0(a0)，q：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q的（

）. A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11.2x25x30的一个必要不充分条件是（

）

111A.x3

B.x0

C.3x

D.1x6

22212.若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

（

）

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13. 证明：a2b0是直线ax2y30和直线xby20垂直的充要条件.

14．已知若

P:A{x(x3)24}，q:B{x(xm1)(xm1)0}

p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围

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