1.1.2 四种命题第二课时教学设计

1．1.2 & 1.1.3 四种命题

四种命题间的相互关系

预习课本P4～8，思考并完成以下问题

1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？

2．什么样的两个命题有相同的真假性？

3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？

[新知初探]

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题结构

3．四种命题之间的关系

1

4．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性(

) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系(

) 答案：(1)√

(2)√

1222．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a＋b≥”的否命题是(

) 2221A．若a＋b<，则a＋b≠1

2221B．若a＋b＝1，则a＋b<

2221C．若a＋b≠1，则a＋b<

2122D．若a＋b≥，则a＋b＝1 2答案：C 3．若a≠0，则ab≠0的逆命题是________．

答案：若ab≠0，则a≠0

4．命题p：若a＝1，则a＝1；命题q：若a＝1，则a＝1，则命题p与q的关系是________．

答案：互逆命题

22

四种命题的概念

[典例] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x－3x＋2＝0. [解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

2

2

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x－3x＋2＝0；

逆命题：若x－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：若x≠2，则x－3x＋2≠0；

逆否命题：若x－3x＋2≠0，则x≠2.

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

[活学活用] 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0. 解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.

四种命题真假的判断

[典例] 判断下列命题的真假．

(1)“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题．

(2)“正三角形都相似”的逆命题．

(3)“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

[解] (1)原命题的否命题为“若x＋y＝0，则x，y全为零”．真命题．

(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．

(3)原命题的逆否命题为“若x＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

因为方程x＋x－m＝0无实根，

3 22222222222

1所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－，

4故m≤0，为真命题．

[一题多变] 1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？

解：原命题的逆命题为“若x＋x－m＝0有实根，则m>0”．

12因为方程x＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－，故逆命题为4假命题．

2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

解：原命题的逆否命题为“若mx＋x－1＝0无实根，则m≤0”．

因为方程mx＋x－1＝0无实根，则m≠0，

1所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，

4故m≤0，为真命题．

解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．

等价命题的应用

[典例] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋22222f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

4

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

[活学活用] 证明：若m＋n＝2，则m＋n≤2.

证明：将“若m＋n＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m＋n≠2”．

122212由于m＋n>2，则m＋n≥(m＋n)>×2＝2，

22所以m＋n≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

22222222

5