探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线教案1

《2.3.1 双曲线的渐近线》教学设计

一、教学内容解析

(一)课标要求：

《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容. 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

(二)教材地位

双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.

教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的渐近线的方程，可和同学们互相讨论共同完成，加深认识. 二、教学目标设置

依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：

1、理解双曲线的定义并能独立推导渐近线；

2、通过定义及标准方程的挖掘与探究

，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度. 三、学生学情分析

从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会. 从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对

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数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟. 教学难点：双曲线的渐近线的推理过程

突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾点到直线的距离，亲自体验证明双曲线渐近线的过程. 四、教学策略分析

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：

1、以类比思维作为教学的主线

2、以自主探究作为学生的学习方式

授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度. 五、教学过程设计

（一）回顾旧识：

师：前面我们学习了双曲线，回顾一下，双曲线是如何定义的？

（请一位同学回答.）

生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线．

师：双曲线又有哪些性质呢

生：学生回答

师：对比椭圆的性质，双曲线的定点有哪些？

生：令yo,得xa双曲线和x轴有两个交点A（）,A2(a,0),因为x轴是双曲线的1a,0对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，

令x0,得y2b2，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点，但我们把B（，-b）,B2(0,b)画在y 轴上

10（二）实验探索：

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x2y2194师：用几何画板画双曲线，在位于第一象限的曲线上画xy032一点M,测量点M的横坐标XM以及他到直线的距离d,沿曲线像右上角拖动点M，观察XM与d的大小关系，大家有什么发现？

生：得到双曲线的渐近线的方程为ybx

abx2y21的渐近线，我们以双曲线

师：为什么yx是双曲线aab在第一象限的图像为例，如何进行证明？

师：随着点M横坐标的增大，距离d不断的趋于零，用那个量来刻画这个距离呢？（学生共同探讨，师生合作完成）

（三）新知证明：

22xy证明；

双曲线1在第一象限内的方程可写为22abb2

yxa2(xa)ab

设M（x,y）是上面的点，N（x,Y）是直线yx上与M有相同横坐标的点ab

则Yxab2bab

因为yxa2x1()2xYaaxa

b所以MNYy(xx2a2)a

b(xx2a2)(xx2a2)axx2a2

abxx2a2abxxa22limx0设MQ是点M到直线ybx的距离，则MQMNa当x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大，MN无限接近于零，

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分从射线ON的下方逐渐接近于射线ONMQ也无限接近于零。双曲线在第一象限的部师：其他象限内，也可以证明类似的情况，你能证明吗？

（四）初步应用，例题讲析

师：学习了新知识，就要应用，来看习题.

练习：求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

y2x21

解

把方程9y－16x＝144化为标准方程

16922由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3；

c＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；

43；渐近线方程为y＝x

54离心率e＝规律方法

讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．

例1 求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

y2x21

解

把方程9y－16x＝144化为标准方程

16922由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3；

c＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；

离心率e＝43；渐近线方程为y＝x

54规律方法

讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．

（设计意图：小鸡试牛刀，关键在于灵活运用）

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２.已知双曲线的渐近线y＝3x，求此双曲线的离心率？

4【设计意图】

数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线渐近线的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化. （五）知识总结，形成体系

出示问题：

1.本节课你学到了什么知识？

2.研究双曲线用到了什么思想方法？

让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：

本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想. 【设计意图】

以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养. （六）布置作业，巩固提高

必做题:

课本61页

练习2，3, 4题

选做题:

在本节课的证明过程中，我们也可以直接计算MQ,如何证明x无限增大时，MQ无线接近于零？

课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理. 【设计意图】

作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，

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又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用. 板书设计：

2.3.1双曲线及其标准方程

(一) 双曲线渐近线的定义

(二) 双曲线渐近线的证明

探索画图：

（三）例题分析

例1

板书力求重点突出，结构清晰,美观整齐. 六、教学设计说明

1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.

2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.

3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.

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