1.1.2 四种命题教学目标

第二章

推理与证明

第一课时

2.1.1

合情推理（一）

三维目标：

(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程：

一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对F02213，F12215，F222117，F3221257，F42216553701234

的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn221的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现nF522142949672976416700417不是素数，推翻费马猜想. 53. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课：

1. 教学概念：

①

概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②

归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？

(iii)观察等式：13422,135932,135791642，能得出怎样的结论？

③

讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？

(ii)归纳推理有何作用？

（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）

(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）

2. 教学例题：

①

出示例题：已知数列an的第1项a12，且an1通项公式. （分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想an

→如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

②

思考：证得某命题在n＝n0时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？

（目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）

③

练习：已知f(1)0,af(n)bf(n1)1,

n2,a0,b0，推测f(n)的表达式. 3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P38

1、2题.

2. 作业：教材P44

习题A组

1、2、3题. 板书设计

an(n1,2,)，试归纳出1an

课题

知识点

小结

教学反思

例题

练习

第二课时

2.1.1

合情推理（二）

三维目标：

知识与技能：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 过程与方法：通过问题的解决让学生具有较强的归纳意识，敢于质疑，勤于思考，逐步形成独立思考的能力

情感态度与价值观：让学生体验到成功，感受到乐趣，激发起强烈的学习意愿

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程：

一、复习准备：

1. 练习：已知

ai0(i1,2,,n)，考察下列式子：(i)a1(ii)(a1a2)(a1,a2,11；a111111)4；(iii)(a1a2a3)()9. 我们可以归纳出，对a1a2a1a2a3,an也成立的类似不等式为

. 2. 猜想数列1111,,,,13355779的通项公式是

. 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.

以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课：

1. 教学概念：

①

概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ②

类比练习：

(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究

填表）

小结：平面→空间，圆→球，线→面. ③

讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题：

①

出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）

类比角度

运算结果

运算律

实数的加法

若a,bR,则abR

abba(ab)ca(bc)实数的乘法

若a,bR,则abR

abba(ab)ca(bc)

加法的逆运算是减法，使逆运算

得方程ax0有唯一解xa

乘法的逆运算是除法，使得方程ax1有唯一解x1

a单位元

a0a

a11

②

出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

思维：直角三角形中，C900，3条边的长度a,b,c，2条直角边a,b和1条斜边c；

→3个面两两垂直的四面体中，PDFPDEEDF900，4个面的面积S1,S2,S3和S

3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.

→ 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.

三、巩固练习：1. 练习：教材P38

3题.

2. 探究：教材P35

例5

3.作业：P44

5、6题. 板书设计

课题

知识点

小结

教学反思

例题

练习

第三课时

2.1.2

演绎推理

三维目标：

知识与技能：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

过程与方法：结合生活中的实例，创设民主的学习氛围和生动的学习情景，鼓励，引导学生通过思考，质疑等丰富多彩的认知过程来获取数学知识

情感态度与价值观：发展学习数学的兴趣，让学生乐于探究数与形变化的奥秘，体验数学探究的艰辛和喜悦，感受数学世界的奇妙和谐. 教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程：

一、复习准备：

1. 练习：

①

对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？

②在平面内，若ac,bc，则a//b. 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若ac,bc，则a//b；或在空间中，若,,则//. 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式

呢？

3. 导入：①

所有的金属都能够导电，铜是金属，所以

；

②

太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此

；

③

奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以

.

（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）

二、讲授新课：

1. 教学概念：

①

概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

②

讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理归纳推理：由特殊到一般；演绎推理：由一般到特殊. 类比推理：由特殊到特殊③

提问：观察教材P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

所有的金属都导电

铜是金属

铜能导电

已知的一般原理

特殊情况

根据原理，对特殊情况做出的判断

大前提

小前提

结论

“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ④

举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题：

①

出示例1：证明函数f(x)x22x在,1上是增函数.

板演：证明方法（定义法、导数法）

→ 指出：大前题、小前题、结论. ②

出示例2：在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.

分析：证明思路

→板演：证明过程

→ 指出：大前题、小前题、结论.

③

讨论：因为指数函数yax是增函数，y()x是指数函数，则结论是什么？

（结论→指出：大前提、小前提

→ 讨论：结论是否正确，为什么？）

④

讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）

3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）

三、巩固练习：1. 练习：P42 2、3题

2. 探究：P42

阅读与思考

3.作业：P44

6题，B组1题. 板书设计

课题

知识点

小结

教学反思

12例题

练习