小结教学目标设计

学习目标

1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

知识点一

命题及其关系

1．判断一个语句是否为命题，关键是：

(1)为____________；

(2)能________________．

2．互为逆否关系的两个命题的真假性________．

3．四种命题之间的关系如图所示．

知识点二

充分条件、必要条件和充要条件

1．定义

一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

2．特征

充分条件与必要条件具有以下两个特征：

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的________条件；

(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．

知识点三

简单的逻辑联结词与量词

1．常见的逻辑联结词有“________”、“________”、“________”．

2．短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“________________”．

3．短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“________”．

4．含有全称量词的命题叫做________命题，含有存在量词的命题叫做________命题．

类型一

充分条件与必要条件、充要条件的探究

命题角度1

充分条件与必要条件的再探究

例1

设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

反思与感悟

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q. 如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．

则pD⇒/q易表述为以下几种说法：

p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；

q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.

跟踪训练1

使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(

) A．a2>b2>0

C．ln a>ln b>0

命题角度2

充要条件的再探究

例2

设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1,2,3，…)，证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…)．

反思与感悟

利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面．

跟踪训练2

设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(

) A．{an}是等比数列

B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…a2n，…是等比数列

C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同

类型二

等价转化思想的应用

例3

已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．

跟踪训练3

已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0)．

(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

B．log1a>log1b>0 22D．xa>xb且x>0.5

类型三

分类讨论思想的应用

例4

已知关于x的方程(m∈Z)：

mx2－4x＋4＝0，

x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，

①

②

求方程①和②的根都是整数的充要条件．

x－5跟踪训练4

已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值x－3范围．

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．

4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？

1(2)若p：|3x－4|>2，q：2>0，则綈p是綈q的什么条件？

x－x－2

1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．

2．判断命题真假的步骤

确定复合命题的构成形式

⇒判断其中简单命题的真假

⇒

根据真值表判断复合命题的真假

3．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：

p 真

真

假

假

4.含有一个量词的命题的否定

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) q 真

假

真

假

綈p 假

假

真

真

p∨q 真

真

真

假

p∧q

真

假

假

假

注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．

答案精析

知识梳理

知识点一

1．(1)陈述句

(2)判断真假

2．相同

知识点二

2．(1)必要

(2)充分

知识点三

1．且

或

非

2．对任意x

3．存在x

4．全称

特称

题型探究

例1

A

[由①得甲⇔乙，②可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙⇒乙，乙D⇒/丙．则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果．] 跟踪训练1

C 例2

证明

(必要性)设{an}是公差为d1的等差数列，

则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…)成立．

又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常数)(n＝1,2,3，…)，

∴数列{cn}为等差数列．

(充分性)设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…)．

∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2，①

∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4.②

①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2. ∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，

∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2，③

同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2.④

④－③得

(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0.⑤

∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，

∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1,2,3，…)．

由此不妨设bn＝d3(n＝1,2,3，…)，

则an－an＋2＝d3(常数)．

由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2

＝4an＋2an＋1－3d3，

从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3

＝4an＋1＋2an－5d3. 两式相减得

cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，

1因此an＋1－an＝(cn＋1－cn)＋d3

21＝d2＋d3(常数)(n＝1,2,3，…)，

2∴数列{an}是等差数列．

跟踪训练2

D 例3

解

函数y＝cx在R上单调递减

⇔01的解集为R

⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. 2x－2c，

x≥2c，∵x＋|x－2c|＝

2c，

x<2c，

∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，

1∴2c>1，得c>. 20

10

2c≥1，如果q真p假，则1解得c≥1. c>2，1∴c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．

2跟踪训练3

解

(1)由命题p：(x＋1)·(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命题q：1－m≤x<1＋m(m>0)．

∵p是q的充分条件，

∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m)，

1－m≤－1，∴解得m>4，

5<1＋m，

则实数m的取值范围为(4，＋∞)．

(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6. ∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

∴命题p，q为一真一假．

－1≤x≤5，当p真q假时，可得

x<－4或x≥6，

解得x∈∅. x<－1或x>5，当q真p假时，可得

－4≤x<6，

解得－4≤x<－1或5

例4

解

当m＝0时，方程①的根为x＝1，

方程②化为x2－5＝0，无整数根，

∴m≠0. 当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是

Δ＝16－4×4m≥0⇒m≤1；

方程②有实数根的充要条件是

Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0 5⇒m≥－. 45∴－≤m≤1.又∵m∈Z，

4∴m＝－1或m＝1. 当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；

当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，

方程②为x2－4x－5＝0. 此时①和②均有整数根．

综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1. x－5跟踪训练4

解

∵p：≥2，

x－3∴x－1≤0，即1≤x<3. x－3

又∵q：x2－ax≤x－a，

∴x2－(a＋1)x＋a≤0. ①当a<1时，a≤x≤1；

②当a＝1时，x＝1；

③当a>1时，1≤x≤a. 设q对应的集合为A，p对应的集合为B，

∵綈p是綈q的充分条件．

∴∁RB⊆∁RA，即A⊆B. 当a<1时，A

B，不合题意；

当a＝1时，AB，符合题意；

当a>1时，1≤x≤a，要使A⊆B，

则1

当堂训练

1．B

2.B

3.②③

4.(－∞，0] 5．解

(1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p⇒q. 又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD⇒/p. ∴p是q的充分不必要条件．

(2)解不等式|3x－4|>2，

2得p：{x|x>2或x<}，

32∴綈p：{x|≤x≤2}．

31解不等式2>0，

x－x－2得q：{x|x<－1或x>2}．

∴綈q：{x|－1≤x≤2}．

∴綈p是綈q的充分不必要条件．