3.1.2 导数的概念教学设计

课题：导数的概念

一、教学内容解析

《导数的概念》是《选修2-2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是高中数学的一节概念课. 纵观《导数及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.

我们将导数概念的建立分为两个阶段，第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当变小，趋于时，趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学思想.

第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念. 教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵.

教学难点：如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念。

二、教学目标

1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成.

2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念.

3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣.

三、学生学情分析

1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从.

2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过

渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难. 四、教学策略分析

根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:

1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念.

2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率.

3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.

五、教学过程

（一）、复习提问

1．什么叫瞬时速度？

2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来

描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？

问题：2秒时的瞬时速度是多少？

（二）、自学提纲

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分。在这段时间内

时，在这段时间内

当0.01时，13.051；

当0.01时，13.149；

当0.001时，13.095 1；

当0.001时，13.104 9；

当0.000 1时，13.099 51；

当0.000 1时，13.100 49；

当0.000 01时，13.099 951；

当0.000 01时，13.100 049；

当0.000 001时，13.099 995 1；

当0.000 001时，13.100 004 9；

。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。

靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；

靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；

-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。

分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度

都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用

表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”

（三）小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

板书设计：

导数的定义（板书）

函数在处的瞬时变化率是，

我们称它为函数在处的导数，记作或，

即=。

①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：=；

=；=；

③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

典例分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2, 再求再求

（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：

注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

四．课堂练习

1．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．

2．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五、小结