存在既不是整数，也不是分数的数第二课时 公开课

八上第二章《实数》导学案

2.1认识无理数

学习目标：让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.会判断一个数是否为无理数. 重难点：把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.判断一个数是否为无理数. 一、知识回顾：

1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？

3，3,5479,,81111,905

92、有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m（m，nn都是整数，且n≠0）的形式。任何______小数或____________小数都是有理数.

例：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得一个大正方形。

（1）

设大正方形的边长为a，a满足的条件是什么？

（2）

a可能是整数吗？可能是分数吗？理由是什么？

结论：

训练：正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？

可能是分数吗？

例：(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由

(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？……

八上第二章《实数》导学案- 1 -

探索过程如下

边长a 1＜a＜2 1.4＜a＜1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.4142＜a＜1.4143 还可以继续算吗？a是有限小数吗？

结论：

无理数：____________小数叫无理数。

实数：分为____________和____________两类。

实数的分类：

面积S

1＜S＜4 1.96＜S＜2.25 1.9881＜S＜2.0164 1.999396＜S＜2.002225 1.99996164＜S＜2.00024449 例：练习：在3; －π；

；0；0.3 ； ；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多73一个1）中，属于有理数的有：__________________；属于无理数的有：__________________；

属于实数的有：________________________________________________。

当堂检测：

一、按要求完成下列题目

1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

413.14，－，0.57，0.1010010001…，0.4583，3.7，－π，－

37

2.把下列各数分别填入相应的集合里：

1222 ，，7，327，0.1010010001…，0.5，0.36，39，4，16

3139实数集{ …}，

无理数集{ …}，

八上第二章《实数》导学案- 2 -

有理数集{ …}，

分数集{ …}，

负无理数集{ …} 3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

（1）无限小数都是无理数；（ ）

（2）无理数都是无限小数（ ）

（3）有理数都是实数，实数不都是有理数（ ）

（4）实数都是无理数，无理数都是实数（ ）

4.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，则AB为（ ）

2A.整数 B.分数 C.无理数

D.不能确定

5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）

A.小数 B.分数 C.无理数

D.不能确定

二、填空题

6.在0.351，2，4.969696…，6.751755175551…，0，

－5.2333，5.411010010001…中，3无理数的个数有______. 7.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数. 8.x2=8,则x______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 9.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 10.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).

八上第二章《实数》导学案- 3 -

2.2.1算数平方根导学案

学习目标：了解数的算术平方根的概念，理解开平方的运算是乘方运算的逆运算。

重 点：了解数的算术平方根的概念；会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的开平方。

难 点：理解a是非负数以及被开方数a是非负数；

学前准备

1、你还记得1～20之间整数的平方吗？

2.学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果面积分别为9dm2、16dm2、36dm2、二．探究活动

活动一:自主探索：学生独立看书，自学教材

总结：一般地，如果一个正数x的平方为a，即x2a，那么正数．．x叫做a____________，记为a，读作根号a，其中a叫做___________. 另外：0的算术平方根是_____ 活动二：例1

求下列各数的算术平方根

(1) 100 ⑵

活动三：存在面积为2的正方形吗?

你会用一个面积为4的正方形拼成一个面积为2的小正方形吗?

活动四:思考：－4有算术平方根吗？

活动五:我们已经学过哪些数的运算？加和减，乘与除之间有什么关系？今天我们又学习了一种运算：

[定义]求一数a的平方根的运算，叫做___________ 说明：⑴“开平方”就是求一个数的平方根；⑵开平方与平方互为__________。

三、巩固提升

1、非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____ 2、81___,491 ⑶ 0.0001 ⑷ 0 ⑸

2

6444dm2呢？说说，你是怎样算出来的？如果这块画布的面积是12dm2呢？

2516121____,_____

2581八上第二章《实数》导学案- 4 -

3、16的算术平方根是_____, 0.64的算术平方根____ 4、若x是49的算术平方根，则x=（ ）

A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 5、 9的算术平方根是_____ (－3)2的算术平方根是________ 9的值为____________

9的算术平方根是______ (3)2的值为______ (3)2的算术平方根是_____。6、若x47，则x的算术平方根是（ ）

A. 49 B. 53 C.7 D 53. 四．小结:学习了本课内容，你有什么收获？

五.课堂练习

1．下列各式中无意义的是（ ）

A．7 B．7 C.7 D．2. 1的算术平方根是（ ） 41111 B． C． D．

8162272

A．3. 下列运算正确的是（ ）

A．33

B．33 C．93

D．93

4. 若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为 . 5. 小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . 6. 计算：⑴9= ⑵52 ⑶7．求下列各数的算术平方根。

⑴ 169 ⑵ 0.0256 ⑶

1

28．若a2b30，则ab ．

22 ⑷－42=____ ⑸

(3)2 . 242 ⑷

2

259．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9八上第二章《实数》导学案- 5 -

倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍. 10. _______ 的算数平方根是它本身. 2.2.2平

方

根

学

案

学习目标：

（1）了解平方根的定义，会用符号表示一个非负数的平方根；

（2）会求一个非负数的平方根。

（3）正确理解平方根的性质。

学习重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地求某些非负数的平方根

学习难点：理解负数没有平方根。

学习过程：

一、引入：

计算：（1）若一个正方形的面积是25cm2，则它的边长是多少？

（2）若一个正方形的面积是5cm2，则它的边长是多少？

二、1、认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：

224,(2)24,(1213)9,(1213)9,

0.520.25,(0.5)20.25.请你举例与上面的式子类同的式子；你得到什么结论？

2、总结：

[定义]一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的________，也就是说，即：如果x2a，那么x就叫做a的平方根。

练习：（1）因为22=_____，（-2）2=______，所以2和-2都是_____的平方根．

（2）3有______个平方根，它们互为______数，记作_______．

（3）9的平方根是____，49的正的平方根是____；1.44的负的平方根是_____ 3、[思考]⑴16的平方根是什么？5的平方根是什么？

⑵0的平方根是什么？0的平方根有几个？

⑶4,8,36有平方根吗？为什么？

总结：平方根的性质：

1、一个正数有________个平方根，它们互为____________；

八上第二章《实数》导学案- 6 -

2、0只有_______个平方根，它是_______；

3、负数________平方根。

课堂练习

1、判断题（正确的打“∨”，错误的打“×”）；

（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数； （ ）

（2）数a的平方根是±a； （ ）

（3）—4的平方根是2； （ ）

（4）负数不能开平方； （ ）

（5）±64=8． （ ）

（6）把一个数先平方再开平方得原数 （ ）

（7）正数a的平方根是a

（ ）

（8）－a没有平方根 （ ）

（9）－5是25的平方根，25的平方根是－5 （ ）

（10）0的平方根是0；1的平方根是1 （ ）

（11）（－3）2的平方根是－3 （ ）

2、（1）平方得81的数是 ，因此81的平方根是 。

（2）49的平方根是_______，0的平方根是_______，．

（3）平方根是它本身的数是 ；

3、如果一个数的平方根是a3与2a15，那么这个数是 . 延伸拓展

4、求下列各式中的x的值

1．x2196 2．5x2100

3．36x3－25=0 2

八上第二章《实数》导学案- 7 -

2.2.12算术平方根及平方根习题课导学案

学习目标：

1、进一步了解平方根、算术平方根的概念，会用符号表示一个非负数的平方根、算术平方根；

2、会求一个非负数的平方根、算术平方根。

学习重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地求某些非负数的平方根、算术平方根。

学习难点：理解算术平方根与平方根的区别．

学习过程：

一、复习回顾：

（1）平方根的概念和算术平方根的概念。

（2）开平方的概念。

（3）填表并分析平方根与算术平方根的区别与联系

非负数

算术平方根

平方根

两者的区别与联系是 __________ 二、基础达标：

1、求下列各数的平方根及算术平方根：

（1）25 （2）

（4）0 （5） 1

2、计算：（1）

9= （2） 52 （3）

（4）

－三、技能提升

11 （6）(2)2 2581

0

49

121（－0.25）2

11

a（a≥0）

16 （3）15 8122

42=______ （5）(3)2 . 八上第二章《实数》导学案- 8 -

1、0.25的平方根是 ;92的算术平方根是 , 16

的平方根是 。

81 ，2、计算：

216= ，(3)= 。

25（1）256 （2）1.44 （3）

2（5） （6）104 3216 （4）0.01

25

3、如果有2是m的一个平方根,那么m的算术平方根是___________; 四、迁移应用：

1、如果—b是a的平方根，那么（ ）

A、ba2； B、ab2

； C、ba2； D、ab2。

2、16的算术平方根是_______，平方根是_______ 3、若x2＝16，则5－x的算术平方根是

；

4、6436的平方根是

，算术平方根是

；

5、若4a＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是

；

6、△ABC的三边是a、b、c，且a1(b2)20，求c的取值范围；

八上第二章《实数》导学案- 9 -

2.3 立方根导学案

学习目标1、理解并掌握立方根的概念，区分立方根与平方根的不同。

2、会用符号表示一个数的立方根，体会一个数的立方根的唯一性。

3、用类比的方法理解开立方与立方互为逆算，会求一个数的立方根。

学习重点

：立方根的根念和求法。 学习难点

：立方根与平方根的区别。

一、基础知识回顾

1、面积是25cm2的正方形画布，它的边长是________________ 2、判断下列各式是否有意义①

3 ②

3 ③

3 ④

(4)2 ⑤(7)2

3、225的算术平方根是_________，平方根是_________，它们互为___________；0平方根是________，算术平方根是________；－4______(填“有”或“没有”)平方根和算术平方根。

4、求下列各式的值①144 ②0.64 ③(3)2 ④二、问题思考：

某校爱心同学送给李奶奶一个正方体礼物，李奶奶高兴的打开了它，看到了正方体礼物的体积是27cm3，爱问题的李奶奶随即问了一个问题说她想知道这个正方体礼物的边长，同学们你们知道这个礼物的边长吗？

1、思考李奶奶的礼物问题：

我们可以设这个礼物的边长为x cm，则可列方程为_______________，这就是求一个数，使它的立方等于27，因为________＝27，所以x＝____ ．即这个礼物的边长应为_______cm．

2、归纳：如果一个数的立方等于α，这个数叫做α的__________（也叫做________）

即如果x3a，那么x叫做α的立方根。如3327，所以_____是27的立方根。

3、求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算互为逆运算。（开平方与平方互为逆运算一样）你知道到目前为止你学习过哪些运算吗？

_______________________________________________________________ 4、根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点：

∵238，∴8的立方根是______ ；∵0.530.125，∴0.125的立方根是_____ ； ∵030，∴0的立方根是______；∵(2)38，∴－8的立方根是_______；

121

169八上第二章《实数》导学案- 10 -

828∵()3，∴的立方根是_______；

27327的立方根一个正数有一个_____〖结论〗：性质0有一个立方根，是_______

一个负数有一个_____的立方根5、典例分析——求下列各数的立方根

⑴

27

⑵

－27

⑶

1

⑷

－0.064

⑸

0 64解：⑴∵3327，∴27的立方根是________

⑵ ⑶

⑷

⑸

三、新知体验：

1、类似于平方根，一个数α的立方根，记作3a，读作________，其中α叫做__________，33是__________，不能省略，若省略表示开平方。例如3所以27表示27的立方根，3273；27表示－27的立方根，所以______________ 2、快速完成下列问题：

∵∵38_____，38____，∴38_____38

3327_____，327____，∴327_____327

那么a与3a是否一定相等？此时α是怎样的数？

3、例题分析——求下列各式的值：

3⑴364

⑵33125

⑶27

⑷643210

27解：⑴64

⑵

⑶

⑷

课堂练习1、立方根等于它本身的数是__________；平方根等于它本身的数是__________；算术平方根等于它本身的数是____________。

2、下列计算不正确的是（ ）

A、(6)26

B、3649

C、382

D、315315

3、方程64x3+125=0，则x＝________ 4、正数的立方根是______数，负数的立方根是______数，0的立方根是_______ 八上第二章《实数》导学案- 11 -

5、思考：一个数都有立方根吗？一个数有几个立方根？

6、平方根与立方根有什么不同? 被开方数

正数

负数

零

四、课堂检测

1、判断正误：⑴25的立方根是5；

⑵互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；

⑶任何数的立方根只有一个；

⑷如果一个数的立方根与其平方根相同，则这个数是1；

⑸一个数的立方根不是正数就是负数；

⑹－64没有立方根。

2、⑴64的平方根是________，立方根是__________；

⑵3平方根

立方根

27的立方根是_________；⑶37是______的立方根的相反数；

⑷若（－x）2=9，则x＝________；若（－x）3=27，则x=______. 3、计算下列各式的值：

3⑴312

⑵8330.008

⑶－27

⑷6430.0010.01

4、拔高训练：

⑴已知x-2的平方根是±2，2x－y+12的立方根是4，求(x+y)x+y的值

（2）填表并寻规律：

a …

0.00001 0.0001

0.001 0.01 1 100

1000

10000 100000 …

a

3a

家庭作业

1. 判断正误: （1）25的立方根是5；（ ）

（2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（ ）

（3）任何数的立方根只有一个；（ ）

八上第二章《实数》导学案- 12 -

（4）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；（ ）

（5）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；（ ）

（6）一个数的立方根不是正数就是负数.（ ）

（7）–64没有立方根.( ) 2．填空题：

(1)64的平方根是________立方根是________. (2)327的立方根是________；3－27是_______的立方根. 3.选择题1．16的平方根与－8的立方根之和是（ ）

A．0 B．－4 C．0或－4 D．4 2．若8x310，则x为（ ）

A．－1111 B． C． D．－

22243．如果3aa，那么a是（ ）

A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对

4．64的立方根是 ，平方根是_______。

5、若x13125，则x= 6、求下列各数的立方根

3⑴0.001 ⑵3 ⑶(4)3

8

7、求下列各式中的x的值

1⑴x32160 ⑵(x5)364 ⑶(x1)38

2

8、将一个体积为216cm2的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积。

八上第二章《实数》导学案- 13 -

2.5估算

导学案

一、自主预习（感知）

某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少? 引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽. 解：设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得：

x·2x=400000, 2x2=400000, x =200000. 那么200000=? 误差(m)允许范围

估计方法

a的估计值

10m10040021600005002250000m1045022025004402193600

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？

二．估算法

1.估算求值：20 =？

解： 162025 4205 (误差小于1) 19.362020.25 4.4204.5

(误差小于0.1)

八上第二章《实数》导学案- 14 -

通过本例你学到了什么？

2、利用估算法比较下列各数的大小

例1：（1）51与

1 （2）12与 3.5 （3）

解：（1）∵51≈2.236-1=1.236﹥1 （2）

∴51﹥1 （3）

三.平方法：一般地，如果a0.b0,且a2b2,那么ab

56

（2）32与23

25251解 (35)29545,(6)2637 242154537356

221012与

33例2: (1)35和扩展：还可寻找其根指数的最小公倍数，将两边同时n次方。

例3：（1）15与325 （2）328与8

解：∵(15)61533375

，(325)6252625

又∵3375﹥625 ∴15﹥325

四、合作探究（理解）

例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.

①40≈20; ②

0.9≈0.3; ③100000≈500; ④

3900≈96. 例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法. ①40 ; ②0.9; ③100000 ; ④3900.

估算无理数的方法是：

（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；

（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。

（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

八上第二章《实数》导学案- 15 -

用估算来解决数学和实际问题. 例3 你能比较解：

七、轻松尝试（运用） 估算下列数的大小. （1）13.6（误差小于0.1） ; （2）3800（误差小于1）

八、拓展延伸（提高）

例4 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，

（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的理

：

九、课堂检测

比较下面各数的大小. （1）

x 6 5-11与的大小吗？你是怎样想的？

221，根据勾股定33-11与 （2）15与3.85 （3）35与53

22八上第二章《实数》导学案- 16 -

2.6实数导学案

学习目标：

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

温故而知新：

1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。

感悟新知：

一、自学课本：38页：引出实数的概念

1、实数定义： 统称实数。

2实数分类：实数可分为 与 。

实数也可以分为 、 、 。

3、练习：把下列各数分别填入相应的集合里：

223212,0,,125,0.1010010001,10,0.3,

72有理数集合：｛

｝；

无理数集合：｛

｝；

负实数集合：｛

｝；

二、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：

自学课本38页：回答下列问题

（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；

（2 ）如果a不等于零，那么它的倒数为 。

现学现用：1．15的相反数是 ，绝对值是 . 2．若x6则x . 三、议一议。探索用数轴上的点来表示无理数。（看课本39页）

练习：在数轴上作出5对应的点。

八上第二章《实数》导学案- 17 -

四、随堂练习

1、判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；

（ ） （2）无理数都是无限小数；

（ ） （3）带根号的数都是无理数。（ ）

2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

（1）3.8 （2）21 （3） （4）3 （5）3

五、小结

1、实数的概念， 2、实数可以怎样分类

3、实数a的相反数为 ，绝对值 ，若a0，它的倒数为 。

4、数轴上的点和 数一一对应。

六、课堂检测：

1.2-3的相反数是 ；绝对值是 . 2.大于-17而11的所有整数的和 .

3.化简(1)25 = ； (2)3= . 4. 在数轴上离原点距离是5的点表示的数是 .

5．若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则a3b33cd . 6． 若y=2xx21,则xy的值为 。

7．全体小数所在的集合是（ ）. A、分数集合

B、有理数集合

C、无理数集合

D、实数集合

27

1008. 数轴上的点A所表示的数为x，如图所示，则x210的立方根是( )

A．210 B．210 C．2 D．－2

1－2A－101八上第二章《实数》导学案- 18 -

2.7.1:二次根式

学习目标：理解二次根式的意义；探索二次根式的乘法和除法法则；会进行简单的二次根式的乘法和除法运算。

学习重点二次根式的乘法和除法法则的应用

学习过程 一、学习准备：

一、学习准备：

1、平方根：如果 x2 = a

，那么x叫做a的平方根。

若a0, 则a的平方根记为 。

2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。若a0, 则a的算术平方根记为_____。

3、填空：①100表示100的_______，结果为_______。

②

4949表示的_______，结果为_____。

6464③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________。

④计算：81＋36＝__________， 0.04－0.25＝__________， 二、阅读理解

4、二次根式的概念：

对于形如100,81，a这样的式子，我们将符号“a”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。

5、积的算术平方根

计算49 = . 49 × = ，所以49 49

一般地,abab

(a0,b0)（注意：公式中a,b必须都是非负数）

积的算术平方根，等于 。

想一想：(4)(9)49成立吗？为什么？(4)(9)应该等于多少？

例1、化简:（1）1681

（2）2000

（3）2715

（4）16ab2(a0,b0)

八上第二章《实数》导学案- 19 -

解

（1）168116814936

即时练习：计算（1）49121

6、二次根式的乘法

把公式aba·b(a0,b0)，反过来得a·bab(a0,b0)．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。

例2、计算 （1）147

即时练习：计算（1）53

7、商的算术平方根

计算：（2）62

（3）627(23)

（2）35210

（2）18

（3）3x3

（4）27m2n3

44244aa。一般地，有

(a0,b0)

(

)2 ，  99b939b商的算术平方根，等于 。

化简（1）50

（2）

即时练习：化简（1）

课堂检测

1、计算:（1）3625 （2）(4)232

（3）(15)(27) （4）132122

2、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c. （1）如果a6,b9,求c； （2）如果a4,c12,求b；

2

7（3）1

3

94 （2）

649 （3）369

121

八上第二章《实数》导学案- 20 -

（3）如果c15,b10,求a

3、计算：（1）2445

（2）512318

（3）12271233 （4）

4

4、化简（1）96449

（2）0.010.36121

（3）3663

2.7.2：最简二次根式及分母有理化

学习目标1、能把所给的二次根式化为最简二次根式

2、能进行分母有理化

学习重点化简二次根式，分母有理化的的方法。

学习过程

一：阅读理解

1：情景引入

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=4，求c。

因为c2=20，所以c= 204525,说明20不是最简的二次根式。

2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例1：把下列各式化为最简二次根式

（1）12

（2）24 （3）75 （4）108 （5）45a2b

解 (1)1243

23

八上第二章《实数》导学案- 21 -

38

即时练习：把下列各式化为最简二次根式

（1）32

（2）72 （3）27

例2：把下列各式化为最简二次根式（1）

即时练习：把下列和各式化为最简二次根式

111 （2） （3）41 31221（1）1.5 （2）1

3120a2b（3）

（4）x2

8x3c注意:（1）化简二次根式时，往往需要先把被开方数分解因数。

（2）当二次根式的被开方数含有分母时，化简后要保证根号内没有分母。

3、分母有理化：二次根式进行除法运算时，当被开方数不能恰好整除时，常采用分母有理化的方法进行化简。如232236

3333 这种把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化。

分母有理化的依据是分数的基本性质和公式(a)2a(a0)

例2、把下列各式分母有理化

（1）

即时练习：把下列各式分母有理化

（1）

3

6121 （2） （3）

5348

（2）53

412

八上第二章《实数》导学案- 22 -

课堂检测1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由

（1）0.3 （2）22

（3） 33

2、把下列各式化为最简二次根式

（1）6

3、把下列各式分母有理化

（1）

2.7.3: 二次根式的加减法

学习目标1、理解同类二次根式的概念

2、会进行二次根式的加减法运算

学习重点二次根式的加减法运算

学习过程 一、学习准备：

1、计算2232= 2232(23)·2(乘法的分配律)52

2、计算818: 由于8和18都不是最简二次根式，可以考虑先将两式分别化简

∵

84222, 189232 ∴ 818223252

二、阅读理解

3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。

例1、

下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2,75,2

61 84 （2）101

5 （3）(8)24(4) （4）5 216

（2）38 40

11,,3

5027八上第二章《实数》导学案- 23 -

解：7525353, 1211312

，3 501001027819

2,11是同类二次根式；75,,3是同类二次根式

50274、二次根式的加减法

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并同类二次根式与合并同类项类似。

二次根式加减法运算的一般步骤是：

（1）先将每一个二次根式化为最简二次根式

（2）找出其中的同类二次根式

（3）合并同类二次根式

例2、

计算（1）2129

解：（1）原式2239

（注意，1：根号前面的系数不能是带分数，只能写成假分数．2：不是同类二次根式的二次根式不能合并，如23）

即时练习：计算：（1）(0.52

课堂检测

下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

433312313313343 （2）

311348 （2）451081125

33 11218)(75) （2）(410)(80)

38353八上第二章《实数》导学案- 24 -

8,20,514,,3,

161851、下列计算是否正确？为什么？

（1）235

（ ）

（3）（2）3232

（ ）

81849235 （ ）

23、计算

（1）3823250

（3）6

（5）

4、计算

（1）(3272)(300248)

（2）93712548

32211 （4）254

23365 141112

22045

（6）1231548

555333

（2）(4518)(8125)

八上第二章《实数》导学案- 25 -